Focalizare - în geometrie, un punct relativ la care (care) sunt construite unele curbe . De exemplu, unul sau două focare pot fi utilizate în construirea secțiunilor conice , care includ cercul , elipsa , parabola și hiperbola . De asemenea, două trucuri sunt folosite în construcția ovalului lui Cassini și a ovalului lui Descartes . Mai multe focare sunt luate în considerare la definirea unei n-elipse .
O elipsă poate fi definită ca locul punctelor pentru care suma distanțelor până la cele două focare este constantă.
Un cerc este un caz special al unei elipse care are două puncte focale. Prin urmare, un cerc poate fi definit ca locul de puncte, fiecare dintre ele fiind la aceeași distanță de la un singur focar. De asemenea, un cerc poate fi definit ca cercul lui Apollonius folosind două focare ca un set de puncte care au același raport de distanțe la două focare.
O parabolă este un caz extrem al unei elipse, în care unul dintre focare este un punct la infinit .
O hiperbolă poate fi definită ca un set de puncte pentru care modulul diferenței dintre distanța la două focare este constant.
Toate secțiunile conice pot fi, de asemenea, definite cu un focus și o directrix, care este o linie dreaptă care nu conține focalizarea. Secțiunea conică este definită ca locul punctelor pentru care raportul dintre distanța la focalizare și distanța la directrice este o valoare pozitivă fixă, numită excentricitate e . Dacă e este în intervalul de la 0 la 1, secțiunea conică este o elipsă, dacă e = 1 - o parabolă, dacă e > 1 - o hiperbolă. Dacă distanța până la focalizare este fixă și directriza este o linie dreaptă la infinit, deci excentricitatea este zero și conica este un cerc.
De asemenea, este posibil să se definească secțiuni conice ca loc de puncte care sunt echidistante de la un singur focar la un cerc ghid. Pentru o elipsă, focalizarea și centrul cercului au coordonate finite, în timp ce raza cercului de ghidare este mai mare decât distanța de la centrul cercului la focar. Prin urmare, focalizarea se află în interiorul cercului de ghidare. Astfel, în elipsa rezultată, al doilea focar este situat în centrul cercului de ghidare și întreaga elipsă se află în interiorul cercului.
Pentru o parabolă, centrul cercului de ghidare se deplasează la un punct la infinit. Apoi cercul devine o curbă de curbură zero, care nu se poate distinge de o linie dreaptă. Cele două ramuri ale parabolei, pe măsură ce se îndepărtează la infinit, devin din ce în ce mai aproape de linii paralele.
La construirea unei hiperbole, raza cercului de ghidare este aleasă să fie mai mică decât distanța dintre centrul cercului și focar. Prin urmare, focalizarea se află în afara cercului ghid. Ramurile hiperbolei se apropie de asimptote, ramura stângă a hiperbolei „întâlnind” ramura dreaptă în puncte la infinit. Astfel, în cadrul geometriei proiective, cele două ramuri ale unei hiperbole sunt jumătăți ale unei curbe închise la infinit.
În geometria proiectivă, toate secțiunile conice sunt echivalente în sensul că fiecare teoremă aplicabilă unui tip de secțiune este aplicabilă și altor tipuri.
În cadrul problemei gravitaționale cu două corpuri , orbitele a două corpuri care se mișcă unul în jurul celuilalt sunt descrise de două secțiuni conice care se intersectează și au un focus comun la centrul de masă .
De exemplu, Luna lui Pluto Charon are o orbită eliptică cu unul dintre focarele în baricentrul sistemului Pluto-Charon, situat în spațiul dintre Pluto și Charon. Pluto se mișcă, de asemenea, de-a lungul unei elipse, unul dintre focarele căreia se află în acest baricentru. Orbita eliptică a lui Pluto se află în întregime pe orbita lui Charon.
Pentru comparație, Luna se mișcă de-a lungul unei elipse, unul dintre focarele căreia se află în baricentrul sistemului Pământ-Lună situat sub suprafața Pământului, în timp ce centrul Pământului se mișcă și el pe orbită în jurul baricentrului. Distanța dintre baricentrul și centrul Pământului este de aproximativ 3/4 din raza Pământului.
În sine, sistemul Pluto-Charon se mișcă într-o elipsă în jurul baricentrului său cu Soarele, la fel ca sistemul Pământ-Lună. În ambele cazuri, baricentrul este situat adânc sub suprafața Soarelui.
Stelele binare circulă și în elipse, unul dintre focarele cărora este centrul de masă al sistemului.
Ovalul Descartes este un set de puncte, pentru fiecare dintre ele, suma ponderată a distanțelor până la cele două focare date este o constantă. Dacă ponderile sunt egale, curba este o elipsă.
Ovalul Cassini este un set de puncte, pentru fiecare dintre ele produsul distanțelor la două focare date este o constantă.
O n-elipsă este un set de puncte, distanța de la care până la n focare este aceeași. În cazul lui n =2, n-elipsa este o elipsă obișnuită.
Conceptul de focalizare poate fi generalizat la curbe algebrice arbitrare. Fie C o curbă de clasa m și fie I și J puncte circulare la infinit. Desenați m tangente la C prin fiecare dintre punctele I și J . Acum există două seturi de m drepte care au m 2 puncte de intersecție (există excepții în unele cazuri). Astfel de puncte de intersecție pot fi considerate focare ale curbei C. Cu alte cuvinte, un punct P este un focar dacă PI și PJ sunt tangente la C. Dacă C este o curbă reală, atunci există m focare reale și m 2 − m focare imaginare . Dacă C este o secțiune conică, atunci focarele obținute în construcția tangentelor sunt aceleași focare care sunt utilizate în construcția geometrică a secțiunilor conice.