Setați notația

$\{n\in \mathbb {Z} \mid (\există k\in \mathbb {Z} )[n=2k]\)$

— Mulțimea tuturor numerelor pare ,
exprimată în termeni de notație de mulțime.

În teoria mulțimilor și aplicațiile sale la logică , matematică și informatică , forma unei mulțimi este o notație matematică pentru descrierea unei mulțimi prin enumerarea elementelor acesteia sau prin specificarea proprietăților pe care elementele mulțimii trebuie să le satisfacă [1] .

Seturi definite prin enumerare

Un set poate fi descris prin listarea tuturor elementelor sale în interiorul acoladelor, ca în următoarele exemple:

$\{7,3,15,31\)$ este un set care conține patru numere: 3, 7, 15 și 31 și nimic mai mult.
$\{a,c,b\}=\{a,b,c\}$ este o mulțime care conține a , b și c și nimic altceva (nu se ia în considerare ordinea elementelor din mulțime, ci doar prezența lor).

O astfel de sarcină este uneori numită „metoda de enumerare” pentru un anumit set [2] .

Dacă se dorește să se specifice un set care conține o secvență obișnuită, se pot folosi punctele de suspensie , așa cum se arată în următoarele exemple:

$\{1,2,3,\ldots ,100\}$ este mulțimea numerelor întregi între 1 și 100 inclusiv.
$\{1,2,3,\ldots\}$ este multimea tuturor numerelor naturale .
$\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}=\{0,1,-1,2,-2,\ldots \)$ este mulțimea tuturor numerelor întregi.

Nu există o ordonare într-o mulțime (acest lucru explică de ce egalitatea este adevărată în ultimul exemplu), dar atunci când se folosește o elipsă, secvența ordonată înainte (sau după) elipse este folosită ca o modalitate convenabilă de a explica ce elemente aparțin mulțimii . Sunt prezentate primele câteva elemente ale secvenței, iar elipsele următoare sugerează că ar trebui aplicată cea mai simplă interpretare pentru a continua secvența. Dacă nu există nicio valoare la dreapta punctelor de suspensie, secvența se presupune a fi infinită.

Deci, înseamnă mulțimea tuturor numerelor naturale astfel încât . O altă notație pentru set este notația paranteze . O mică excepție este cazul în care se află setul gol . În mod similar, denotă mulțimea tuturor pentru . $\{1,\dots ,n\}$ $i$ $1\leqslant i\leqslant n$ $\{1,\dots ,n\}$ $[n]$ $n=0$ $[0]=\{1,\dots ,0\}$ $\emptyset$ $\{a_{1},\dots ,a_{n}\}$ $a_{i}$ $1\leqslant i\leqslant n$

În exemplele date, fiecare set este descris prin enumerarea elementelor sale. Nu toate seturile pot fi descrise în acest fel, sau chiar dacă pot fi descrise în acest fel, enumerarea elementelor lor poate fi prea lungă sau prea complicată pentru a utiliza această metodă. Din acest motiv, multe mulțimi sunt definite de proprietăți care caracterizează elementele mulțimii. Această caracterizare poate fi dată informal folosind limbajul prozaic, ca în exemplul următor.

$\{$ numerele de case de-a lungul Kosygin Avenue este setul tuturor numerelor de case de-a lungul Kosygin Avenue. $\}$

Cu toate acestea, această abordare poate duce la pierderea preciziei sau la ambiguitate. Astfel, o listă de adrese de-a lungul Bulevarului Kosygin poate însemna atât o listă de case, cât și o listă de apartamente din aceste case.

Definirea mulțimilor prin predicate

Predicatele pot fi folosite pentru a scrie o mulțime, mai degrabă decât o enumerare explicită de elemente [3] . Această formă de notație a seturilor are trei părți: o variabilă, o bară verticală sau două puncte ca separator și un predicat boolean . În acest caz, există o variabilă în stânga delimitatorului și o regulă în dreapta acestuia. Aceste trei părți sunt închise în acolade:

\{x\mid \Phi (x)\)

\{x:\Phi (x)\}.

Delimitatorul poate fi citit " astfel încât " [4] , "pentru care" sau "cu proprietate". Formula Φ( x ) se numește regulă sau predicat . Toate valorile variabilei x pentru care predicatul este adevărat (adică este adevărat) aparțin mulțimii definite. Toate valorile x pentru care predicatul eșuează nu aparțin mulțimii. Astfel, este mulțimea tuturor valorilor x pentru care formula Φ [5] este adevărată . Poate fi setul gol dacă nicio valoare x nu satisface formula. $\{x\mid \Phi (x)\)$

Scoping

Sfera lui E poate apărea în stânga barei verticale [6] :

\{x\in E\mid \Phi (x)\},

sau poate fi combinat cu un predicat:

\{x\mid x\in E{\text{ and }}\Phi (x)\}\quad {\text{or}}\quad \{x\mid x\in E\land \Phi (X)\}.

Simbolul ∈ înseamnă aici apartenența la mulțimea , în timp ce simbolul înseamnă operatorul logic „ȘI”, cunoscut sub numele de conjuncție . Această notație reprezintă mulțimea tuturor valorilor x care aparțin unei mulțimi E pentru care predicatul evaluează drept adevărat , adică adevărat (vezi paragraful „ Axioma existenței ” de mai jos). Dacă este o conjuncție , atunci forma este uneori scrisă ca , folosind o virgulă în loc de . $\teren$ $\Phi (x)$ $\Phi _{1}(x)\land \Phi _{2}(x)$ $\{x\in E\mid \Phi (x)\)$ $\{x\in E\mid \Phi _{1}(x),\Phi _{2}(x)\)$ $\teren$

În general, este incorect să se ia în considerare o mulțime fără a defini un domeniu, deoarece un domeniu poate reprezenta un subset al tuturor obiectelor posibile care pot exista pentru care predicatul este adevărat. Acest lucru poate duce cu ușurință la contradicții și paradoxuri. De exemplu, paradoxul lui Russell arată că expresia , deși arată ca o expresie bine formată pentru definirea unei mulțimi, nu poate defini o mulțime fără a obține o contradicție [7] . $\{x~|~x\nu \in x\)$

În cazurile în care mulțimea E este clar definită din context, aceasta poate fi omisă. În literatură, se obișnuiește ca autorul să indice în prealabil domeniul de definiție, iar apoi domeniul nu este indicat la definirea mulțimilor. De exemplu, un autor ar putea scrie ceva de genul: „Dacă nu este menționat altfel, variabilele aparțin numerelor naturale”.

Exemple

Următoarele exemple ilustrează mulțimi concrete definite de predicate. În fiecare caz, domeniul de aplicare este în stânga barei verticale, în timp ce regula este în dreapta acesteia.

$\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\)$ este mulțimea tuturor numerelor reale strict pozitive , care pot fi scrise în notație de interval ca . $(0,\infty )$
$\{x\in \mathbb {R} \mid |x|=1\)$ este un set . Acest set mai poate fi definit ca ; vezi paragraful „ predicatele echivalente definesc seturi egale ” de mai jos. $\{-1,1\}$ $\{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}$
Pentru fiecare număr întreg m putem defini . Ca exemple: și . $G_{m}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geqslant m\}=\{m,m+1,m+2,\ldots \)$ $G_{3}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geqslant 3\}=\{3,4,5,\ldots \)$ $G_{-2}=\{-2,-1,0,\ldots \)$
$\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid 0<y<f(x)\)$ este mulțimea de perechi de numere reale astfel încât y este mai mare decât 0 și mai mic decât f ( x ) pentru o funcție dată f . Aici produsul cartezian înseamnă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale. $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$
${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid (\exists k)[k\in \mathbb {N} \land n=2k]\))$ este mulțimea tuturor numerelor naturale pare . Semnul reprezintă operația „ȘI”, care este cunoscută sub numele de conjuncție . Semnul ∃ înseamnă „există”, care este cunoscut sub numele de cuantificator existențial . Deci, de exemplu, se citește ca „există x astfel încât P ( x ) …”. $\teren$ $(\exists x)P(x)$
${\displaystyle \{n\mid (\există k\in \mathbb {N} )[n=2k]\))$ este un alt mod de a scrie aceeași mulțime de numere naturale pare. Nu este necesar să se ceară ca n să fie un număr natural, deoarece aceasta rezultă din formula din partea dreaptă.
$\{a\in \mathbb {R} \mid (\există p\in \mathbb {Z} )(\există q\in \mathbb {Z} )[q\not =0\land aq=p ]\}$ este mulțimea numerelor raționale , adică acestea sunt numere reale care pot fi scrise ca un coeficient de două numere întregi .

Expresii mai complexe în partea stângă

Extensia de notație set înlocuiește singura variabilă x cu expresia . Deci, în schimb , putem avea , care poate fi citit ca $\{x\mid \Phi (x)\)$ $\{\Psi (x)\mid \Phi (x)\},$

\{\Psi (x)\mid \Phi (x)\}=\{y\mid \exists (x), y=\Psi (x){\text{ and }}\Phi (x) \}

De exemplu:

$\{2n\mid n\in \mathbb {N} \)$ , unde este mulțimea tuturor numerelor naturale este mulțimea tuturor numerelor naturale pare. $\mathbb {N}$
$\{p/q\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\)$ , unde este mulțimea tuturor numerelor întregi - aceasta este ℚ , mulțimea tuturor numerelor raționale. $\mathbb {Z}$
$\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \)$ este mulțimea numerelor întregi impare.
$\{(t,2t+1)\mid t\in \mathbb {Z} \)$ creează un set de perechi, în care fiecare pereche constă dintr-un număr întreg și numărul impar corespunzător.

Dacă funcțiile inverse pot fi specificate în mod explicit, expresia din stânga poate fi eliminată prin substituție simplă. Să luăm ca exemplu un set . Facem o substituție , de unde obținem , apoi înlocuim t sub forma unei notații de mulțime $\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \)$ $u=2t+1$ $t=(u-1)/2$

\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}=\{u\mid (u-1)/2\in \mathbb {Z} \}.

Predicatele echivalente definesc seturi egale

Două mulțimi sunt egale dacă și numai dacă au aceleași elemente. Mulțimile definite prin notația mulțimii sunt egale dacă și numai dacă regulile lor de construcție sunt egale, inclusiv indicarea domeniului de definiție. Acesta este

\{x\in A\mid P(x)\}=\{x\in B\mid Q(x)\}

dacă și numai dacă

(\forall t)[(t\in A\land P(t))\Leftrightarrow (t\in B\land Q(t))]

Prin urmare, pentru a demonstra egalitatea a două mulțimi definite prin notația unei mulțimi, este suficient să se demonstreze echivalența predicatelor lor, inclusiv a domeniilor lor.

De exemplu:

\{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}=\{x\in \mathbb {Q} \mid |x|=1\)

Deoarece cele două reguli de predicat sunt echivalente din punct de vedere logic:

(x\in \mathbb {R} \land x^{2}=1)\Leftrightarrow (x\in \mathbb {Q} \land |x|=1).

Această echivalență este valabilă deoarece pentru orice număr real x avem dacă și numai dacă x este rațional și . În special, ambele seturi sunt egale cu setul . $x^{2}=1$ $|x|=1$ $\{-1,1\}$

Axioma existenței unei mulțimi

În multe teorii formale de mulțimi, cum ar fi sistemul Zermelo-Fraenkel , notația mulțimii nu face parte din sintaxa formală a teoriei. În schimb, există o schemă axiomatică pentru existența unei mulțimi , care afirmă că dacă E este o mulțime și Φ( x ) este o formulă a teoriei mulțimilor, atunci există o mulțime Y ai cărei membri sunt exact elementele lui E. care îndeplinesc condiția Φ :

(\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x\in Y\Leftrightarrow x\in E\land \Phi (x)].

Mulțimea Y obținută din această axiomă este exact mulțimea descrisă sub formă de notație a mulțimii . $\{x\in E\mid \Phi (x)\)$

Paralele în limbaje de programare

O notație similară disponibilă în multe limbaje de programare (în special Python și Haskell ) este list enclosing , care combină operațiunile de hartă și filtrare pe una sau mai multe liste .

În Python, parantezele de notație setate sunt înlocuite cu paranteze drepte, paranteze sau acolade pentru a defini o listă, un generator și, respectiv, un set de obiecte. Python folosește sintaxa engleză. Haskell înlocuiește parantezele set cu paranteze pătrate și folosește simboluri matematice, inclusiv caracterul standard pentru seturi.

Același lucru se poate realiza în Scala folosind Sequence Comprehensions, unde cuvântul cheie „for” returnează o listă de variabile obținute folosind cuvântul cheie „yield” [8] .

Luați în considerare următoarele atribuiri de set în unele limbaje de programare:

	Exemplul 1	Exemplul 2
Setați notația	$\{l\ \|\l\in L\}$	$\{(k,x)\ \|\k\in K\wedge x\in X\wedge P(x)\)$
Piton	{ l pentru l în L }	{( k , x ) pentru k în K pentru x în X dacă P ( x )}
Haskell	[ l \| l < -ls ]	[( k , x ) \| k <- ks , x <- xs , p x ]
Scala	pentru ( l <- L ) randament l	pentru ( k <- K ; x <- X dacă P ( x )) randament ( k , x )
C#	din l în L selectați l	din k în K din x în X unde P ( x ) selectează ( k , x )
SQL	SELECTAȚI l DIN L_set	SELECTAȚI k , x FROM K_set , X_set WHERE P ( x )

Notația de set și includerea listelor sunt cazuri speciale ale notației mai generale cunoscute sub numele de generator de monade . Această notație permite operațiuni precum hartă/filtru pe orice monada C nulă .

Note

↑ Rosen, 2007 , p. 111–112.
↑ Aufmann, Barker, Lockwood, 2007 , p. 6.
↑ Cullinan, 2012 , p. 44 și urm.
↑ Lista cuprinzătoare a simbolurilor teoriei mulțimilor . Math Vault (11 aprilie 2020). Preluat la 20 august 2020. Arhivat din original la 18 august 2020.
^ Weisstein , Eric W. Set . mathworld.wolfram.com . Preluat la 20 august 2020. Arhivat din original la 7 octombrie 2020.
↑ Set-Builder Notation . mathsisfun.com . Preluat la 20 august 2020. Arhivat din original la 21 octombrie 2020. (nedefinit)
↑ Irvine, Deutsch, 2016 .
↑ Înțelegeri secvențe . Scala. Preluat la 6 august 2017. Arhivat din original la 18 aprilie 2021. (nedefinit)

Literatură

Kenneth Rosen. Matematica discretă și aplicațiile ei . — al 6-lea. - New York, NY: McGraw-Hill, 2007. - P. 111-112. - ISBN 978-0-07-288008-3 .
Richard Aufmann, Vernon C. Barker, Joanne Lockwood. . - Brooks Cole, 2007. - P. 6 ..
Michael J. Cullinan. O tranziție la matematică cu dovezi. - Jones & Bartlett, 2012. - p. 44 și urm.
Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Paradoxul lui Russell // Stanford Encyclopedia of Philosophy . — 2016.