Formula Kubo

Formula Kubo este o ecuație care exprimă răspunsul liniar al unei mărimi observate ca o funcție a unei perturbații non-staționare . Numit după Ryogo Kubo , care a introdus formula pentru prima dată în 1957 [1] [2] .

Folosind formula Kubo, se poate calcula susceptibilitățile de sarcină și spin ale sistemelor de electroni ca răspuns la câmpurile electrice și magnetice aplicate. De asemenea, este posibil să se calculeze răspunsul la forțele și vibrațiile mecanice externe.

Formula generală a lui Kubo

Să considerăm un sistem cuantic descris de un hamiltonian (independent de timp) . Valoarea medie a unei marimi fizice descrisa de operator poate fi estimata ca: $H_{0}$ ${\hat {A}}$

\langle {\hat {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A} }]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}

{\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e ^{-\beta E_{n}}

unde este funcția de partiție . Să presupunem acum că la momentul respectiv o perturbație externă începe să acționeze asupra sistemului. Această perturbație este descrisă de o dependență suplimentară de timp a hamiltonianului: unde este funcția Heaviside , care este egală cu 1 pentru timpii pozitivi și 0 în caz contrar și este hermitiană și este definită pentru tot t , astfel încât pentru pozitiv , are un set complet de valori proprii reale , dar aceste valori proprii se pot schimba în timp. $Z_{0}=\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]$ $t=t_{0}$ ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$ $\theta (t)$ ${\pălărie {V}}(t)$ $t-t_{0}$ ${\hat H}(t)$ $E_{n}(t)\,,$

Cu toate acestea, acum din nou putem găsi evoluția în timp a matricei densității din partea dreaptă a expresiei pentru funcția de partiție și putem estima așteptările matematice ca ${\pălărie {\rho }}(t)$ $Z(t)=\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)],$ $\langle {\hat {A}}\rangle =\operatorname {Tr} \,[\rho (t)\,{\hat {A}}]/\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)].$

Dependența de timp a stărilor este complet determinată de ecuația Schrödinger, care corespunde imaginii Schrödinger . Dar, deoarece este considerată ca o mică perturbare, este convenabil să se folosească reprezentarea imaginii de interacțiune, în cea mai mică ordine non-trivială. Dependența de timp în această reprezentare este dată de unde prin definiție pentru toți t și , $|n(t)\rangle$ $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H))(t)|n(t)\rangle ,$ ${\pălărie {V}}(t)$ $|{\hat {n}}(t)\rangle ,$ $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\ pălărie {H}}_{0}t}{\pălărie {U}}(t,t_{0})|{\pălărie {n}}(t_{0})\rangle ,$ $t_0$ $|{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

În ordine liniară în , obținem . Astfel, media până la un ordin liniar în raport cu perturbația este egală cu ${\pălărie {V}}(t)$ ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$ ${\hat {A}}(t)$

{\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{ t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t) ,{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}

Parantezele unghiulare înseamnă media de echilibru peste Hamiltonianul neperturbat.De aceea, pentru teoria perturbației de ordinul întâi, media include doar funcții proprii de ordin zero, ceea ce se întâmplă de obicei în teoria perturbației. Acest lucru elimină toate complexitățile care altfel ar putea apărea pentru momente în timp . $\langle \rangle _{0)$ $H_{0}.$ $t>t_{0}$

Expresia de mai sus este adevărată pentru orice operator. (vezi și A doua cuantizare ) [3] .

Note

↑ Kubo, Ryogo (1957). „Teoria statistico-mecanică a proceselor ireversibile. I. Teoria generală și aplicații simple la problemele magnetice și de conducere”. J Phys. soc. Jpn . 12 :570–586. DOI : 10.1143/JPSJ.12.570 .
↑ Kubo, Ryogo (1957). „Teoria statistico-mecanică a proceselor ireversibile. II. Răspuns la tulburările termice.” J Phys. soc. Jpn . 12 : 1203–1211. DOI : 10.1143/JPSJ.12.1203 .
↑ Mahan, GD. fizica multor particule. - New York: springer, 1981. - ISBN 0306463385 .