Vedere fundamentală

În teoria reprezentării grupurilor Lie și algebrelor Lie, o reprezentare fundamentală este o reprezentare ireductibilă cu dimensiuni finite a unui grup de Lie semisimple sau algebrei Lie a cărei pondere cea mai mare este ponderea fundamentală. De exemplu, modulul definitoriu al unui grup Lie clasic este o reprezentare fundamentală. Orice reprezentare ireductibilă finită-dimensională a unui grup semisimplu Lie sau algebrei Lie este complet determinată de cea mai mare pondere ( teorema lui Cartan ) și poate fi construită din reprezentări fundamentale folosind procedura descrisă de Eli Cartan. Astfel, reprezentările fundamentale sunt, într-un sens, blocuri elementare pentru reprezentările arbitrare cu dimensiuni finite.

Exemple

În cazul unui grup liniar general, toate reprezentările fundamentale sunt puteri exterioare ale modulului definitoriu.
În cazul grupului unitar special SU ( n ) , reprezentările fundamentale n − 1 sunt produse exterioare formate din tensori antisimetrici , unde k = 1, 2, ..., n − 1 . $\operatorname {Alt} ^{k}\ {\mathbb {C} }^{n},$
Reprezentarea de spin a acoperirii duble a unui grup ortogonal impar, grupul spinor impar și cele două reprezentări de spin chiral ale acoperirii duble a unui grup ortogonal par, grupurile de spinori pare, sunt reprezentări fundamentale care nu pot fi realizate în spațiul de tensori.
Reprezentarea adjunctă a unui grup de Lie simplu de tip E 8 este o reprezentare fundamentală.

Explicație

Reprezentările ireductibile ale unui grup compact Lie pur și simplu conectat sunt indexate după ponderile lor cele mai mari . Aceste greutăți sunt puncte de rețea în orthantul Q + în rețeaua de greutate a grupului Lie constând din greutăți integrale dominante. Se poate dovedi că există un set de ponderi fundamentale indexate de vârfurile diagramei Dynkin , astfel încât orice pondere dominantă este o combinație liniară întregă nenegativă a ponderilor fundamentale. Reprezentările ireductibile corespunzătoare sunt reprezentări fundamentale ale grupurilor Lie. Din descompunerea ponderii dominante în termeni de ponderi fundamentale, se poate obține produsul tensor corespunzător al reprezentărilor fundamentale și se poate evidenția o instanță a reprezentării ireductibile corespunzătoare acestei ponderi dominante.

Alte aplicații

În afara teoriei Lie, termenul „reprezentare fundamentală” este uneori folosit pentru a se referi la reprezentarea exactă, cea mai mică ca dimensiune, deși este adesea numit și reprezentarea standard sau definitorie. Acest termen are mai multe rădăcini istorice decât un sens matematic bine definit.

Literatură

Fulton, William; Harris, Joe. teoria reprezentării. Un prim fel. - New York: Springer-Verlag , 1991. - V. 129. - (Texte de absolvire în matematică, lecturi în matematică). — ISBN 978-0-387-97495-8 .
Humphreys, James E. Introducere în algebrele minciunii și teoria reprezentării. - Birkhäuser, 1972. - ISBN 978-0-387-90053-7 . .
Zhelobenko D. P. Grupurile Compact Lie și reprezentările lor. — M .: Nauka, 1970.