Grup ortogonal

Un grup ortogonal este grupul tuturor transformărilor liniare ale unui spațiu vectorial -dimensional peste un câmp care păstrează o formă pătratică fixă nedegenerată (adică transformări liniare astfel încât pentru orice ). $n$ $V$ $k$ $Q$ $V$ $\varphi$ $Q(\varphi(v))=Q(v)$ $v\în V$

Notație și definiții aferente

Elementele unui grup ortogonal se numesc transformări ortogonale (în ceea ce privește ) , precum și automorfisme de formă (mai precis, automorfisme spațiale în raport cu forma ). $Q$ $V$ $Q$ $V$ $Q$
Se notează cu , , etc. Când forma pătratică nu este specificată în mod explicit, atunci se implică forma dată de suma pătratelor de coordonate, adică exprimată prin matricea de identitate . $Pe}$ $O_n(k)$ $O_n(Q)$
Peste câmpul numerelor reale, un grup ortogonal de formă nedefinită cu semnătură ( plusuri, minusuri) unde , este notat cu , vezi de ex. O(1,3) . $l$ $m$ $n = l + m$ $O(l,m)$

Proprietăți

Dacă caracteristica câmpului principal nu este egală cu doi , atunci o formă biliniară simetrică nedegenerată on este asociată cu , definită prin formula $Q$ $F$ $V$ $F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2)).$

Atunci grupul ortogonal este format exact din acele transformări liniare ale spațiului care păstrează , și se notează prin sau (când este clar despre ce câmp și formă vorbim) pur și simplu prin .

V

F

O_n(k,\;F)

k

F

Pe}

Dacă este forma matricei într-o anumită bază a spațiului , atunci grupul ortogonal poate fi identificat cu grupul tuturor acestor matrici cu coeficienți în , astfel încât $B$ $F$ $V$ $A$ $k$ $A^TBA=B.$ În special, dacă baza este astfel încât să fie suma pătratelor coordonatelor (adică matricea este identitate), atunci astfel de matrici sunt numite ortogonale . $Q$ $B$ $A$
Peste câmpul numerelor reale , un grup este compact dacă și numai dacă forma este nedefinită . $O_n({\mathbb R},\;V)$ $Q$
- În acest caz, orice element din , pentru o bază adecvată este reprezentat ca o matrice în diagonală bloc $O_{n}({\mathbb {R} })$ ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}$

unde R1 , ..., Rk sunt matrici de rotaţie 2x2 ; Teorema de rotație a lui Euler este un caz special al acestei afirmații.

Alte grupuri

Un grup ortogonal este un subgrup al grupului liniar general GL( ). Elementele unui grup ortogonal al cărui determinant este egal cu 1 (această proprietate nu depinde de bază ) formează un subgrup - un grup ortogonal special , notat în același mod ca grupul ortogonal, dar cu adăugarea literei „S ". , prin construcție, este și o subgrupă a grupului liniar special . $n$ $SO(n,Q)$ $SO(n,Q)$ $SL(n)$

Vezi și

SO(8)

Link -uri

Grup ortogonal

Isaev A.P., Rubakov V.A. Teoria grupurilor și simetriilor. grupuri de sfârșit. Grupuri de minciuni și algebre. Editura URSS. 2018. 491 s

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier