Există două definiții ale unui poliedru chiral . După o definiție, este un poliedru în cel mai adevărat sens al chiralitate (sau „simetrie oglindă”), adică că poliedrul nu are simetrie oglindă . Prin această definiție, un politop care nu are orice simetrie ar fi, în general, un exemplu de politop chiral.
După o altă definiție, un politop chiral este un politop simetric, dar nu simetric în oglindă în ceea ce privește acțiunea grupului de simetrie al politopului asupra steagurilor sale . Prin această definiție, chiar și un poliedru foarte simetric și simetric în oglindă, cum ar fi un cub snub , nu va fi chiral. Mai mult decât atât, o mare parte din studiul poliedrelor simetrice, dar nu chirale, a fost retrogradată în domeniul poliedrelor abstracte din cauza lipsei de exemple geometrice.
| Cubul snub este tranzitiv la vârf, dar nu simetric în oglindă. | |
Multe poliedre nu au simetrie în oglindă și sunt chirale în acest sens. Cel mai simplu exemplu este un triunghi scalen [1] .
Un poliedru poate avea un grad ridicat de simetrie, dar nu simetrie în oglindă. Un exemplu este cubul snub , care este tranzitiv la vârf și chiral din cauza lipsei de simetrie a oglinzii [2] .
O definiție mai formală a unui politop chiral este un politop care are două orbite steag sub acțiunea grupului de simetrie pentru steagurile adiacente pe orbite diferite. Din această definiție rezultă că un politop trebuie să fie tranzitiv de vârf , tranzitiv de margine și tranzitiv de față , deoarece fiecare vârf, muchie sau față trebuie reprezentat prin steaguri pe ambele orbite. Cu toate acestea, poliedrul nu poate fi simetric în oglindă, deoarece orice simetrie în oglindă a poliedrului ar duce la un schimb de steaguri adiacente [3] .
Pentru această definiție, grupul de simetrie al unui politop poate fi definit în două moduri diferite - se poate referi la simetriile politopului ca obiect geometric (caz în care se spune că politopul este geometric chiral ) sau se poate referi la simetriile politopului. politopul ca structură combinatorie ( politop abstract ). Chiralitatea are sens pentru ambele tipuri de simetrie, dar cele două definiții nu clasifică în mod egal poliedrele ca chirale sau non-chirale [4] .
În trei dimensiuni, un poliedru chiral geometric nu poate avea un număr finit de fețe mărginite. De exemplu, cubul snub este tranzitiv la vârf, dar steagurile sale au mai mult de două orbite și nu este nici tranzitiv la margine, nici tranzitiv la față, deci nu este suficient de tranzitiv pentru a defini formal chiralitatea. Poliedrele cvasi-regulate și dualurile lor, cum ar fi cuboctaedrul și dodecaedrul rombic , dau un alt tip interesant de „aproape absență” - au două orbite steag, dar sunt simetrice în oglindă și nu fiecare pereche de steaguri adiacente aparține unor steaguri diferite. orbite. Cu toate acestea, în ciuda absenței poliedrelor 3D chirale finite, există infiniti politopi chirali 3D 3D [ de tipurile {4,6}, {6,4} și {6,6} [4] .