Un politop izogonal sau tranzitiv la vârfuri este un politop ale cărui vârfuri sunt echivalente. În special, toate vârfurile sunt înconjurate de același tip de fațete în aceeași ordine (sau inversă) și cu aceleași unghiuri între fețele respective. Termenul poate fi aplicat și poligoanelor sau plăcilor și așa mai departe.
În mod formal, spunem că pentru oricare două vârfuri există o simetrie politopică care mapează primul vârf izometric cu al doilea. Un alt mod de a spune același lucru este că grupul de automorfism al unui politop este tranzitiv pe vârfurile sale sau că vârfurile se află în interiorul aceleiași orbite de simetrie .
Toate vârfurile unei figuri izogonale finite n -dimensionale există pe o sferă (n-1) .
Termenul izogonal a fost folosit mult timp în contextul poliedrelor. Termenul vertex-tranzitiv este un sinonim împrumutat din ideile moderne despre grupuri de simetrie și teoria grafurilor .
Cupola rotită cu patru laturi - care nu este izogonală - demonstrează că afirmația „toate nodurile arată la fel” nu este la fel de restrictivă ca definiția de mai sus, care implică un grup de izometrie care păstrează un poliedru sau tigla.
| Infinități izogonale |
|---|
| infinit spațial izogonal |
Toate poligoanele obișnuite , infiniturile și poligoanele stea regulate sunt izogonale . Figura duală pentru un poligon izogonal este un poligon izotoxal .
Unele poligoane cu un număr par de laturi și infinitate cu două lungimi de laturi alternante, cum ar fi un dreptunghi , sunt izogonale .
Toate 2n-gonurile izogonale plane au simetrie diedrică (D n , n =2,3,...) cu axe de simetrie prin punctele medii ale laturilor.
| D2 _ | D3 _ | D4 _ | D7 _ |
|---|---|---|---|
Dreptunghiurile izogonale și dreptunghiurile încrucișate au același aranjament de vârfuri |
Hexagramă izogonală cu 6 vârfuri identice și două lungimi de muchii [1] |
Octogon convex izogonal cu axe de simetrie radiale albastre și roșii |
Un quadradecagon „stea” izogonal cu un tip de vârf și două tipuri de muchii [2] . |
| Mozaic pătrat deformat |
| Mozaic pătrat trunchiat deformat |
Un poliedru izogonal (3D) și o placare 2D au o singură vedere de vârf. Un poliedru izogonal cu fețe regulate este, de asemenea, un poliedru uniform și poate fi reprezentat prin notația de configurare a vârfurilor , prin enumerarea fețelor din jurul fiecărui vârf în succesiune. Variantele deformate geometric de poliedre și teselații uniforme pot fi specificate și printr-o configurație de vârf.
| D 3d , comanda 12 | T h , ordinul 24 | O h , ordinul 48 | |
|---|---|---|---|
| 4.4.6 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.8.8 |
Prismă hexagonală deformată |
Rombicuboctaedru deformat |
Cuboctaedru ușor trunchiat |
Cub supratrunchiat |
Politopurile 3D izogonale și plăcile 2D pot fi clasificate în continuare
Definițiile figurilor izogonale pot fi extinse la politopuri și faguri de dimensiuni mai mari . În general, toate poliedrele uniforme sunt izogonale , cum ar fi 4-politopii uniformi și fagurii uniformi convexi .
Politopul dublu pentru un politop izogonal este izotopic , i.e. fațetă tranzitivă .
Un politop sau un fagure se spune a fi k-izogonal dacă vârfurile sale formează k clase de tranzitivitate. Un termen mai restrictiv, k-omogen este definit ca o figură k-izogonală , constând doar din poligoane regulate . Ele pot fi reprezentate vizual prin diferite culori de colorare uniformă .
Acest dodecaedru rombic trunchiat este 2-izogonal deoarece conține două clase de tranzitivitate a vârfurilor. Acest poliedru este format din pătrate și hexagoane aplatizate . |
Această placă semi-regulată este, de asemenea, 2-izogonală (și 2-omogenă ). Acest mozaic este format din fețe triunghiulare regulate și hexagonale regulate . |
Eneagrama 2-izogonală 9/4 |