Poliedru abstract

Digonul este un poliedru cu două margini, care corespunde numelui. Spre deosebire de alte poligoane, ambele margini au două vârfuri comune. Din acest motiv, este considerată degenerată .

Până acum, am folosit „notația vârfurilor” pentru a defini marginile, de exemplu. { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } pentru triunghiul abc . Această metodă are un avantaj clar față de setarea relației < .

În cazul digonului și al multor alte poliedre abstracte, notația vârfurilor nu poate fi utilizată . Suntem forțați să dăm fețelor nume individuale și să specificăm perechi de subfețe F < G (specificați ordinea).

Astfel, un digon trebuie definit ca o mulțime { ø , a , b , E', E", G} cu relație de ordine <

unde E' și E" sunt două muchii și G este cea mai mare față.

În rezumat, un poliedru poate fi descris pe deplin prin notația de vârf numai dacă orice față are un set unic de vârfuri . Un poliedru care are această proprietate se numește atomic .

Exemple de ordin superior

După cum sa menționat mai sus, noțiunea de poliedru abstract este foarte generală și include:

• Infinit , adică poliedre sau substituții infinite
• Descompuneri ale altor varietăți precum torul sau planul proiectiv real
• Există multe alte obiecte, cum ar fi celula unsprezece și celula cincizeci și șapte , care nu se potrivesc în mod obișnuit în spațiile geometrice „normale”.

În general, mulțimea j -fețelor (−1 ≤ j ≤ n ) ale unui n -politop tradițional formează un n -politop abstract.

Hosohedra

Digonul este generalizat prin osoedre , care pot fi realizate ca poliedre sferice - tilings ale sferei.

Poliedre proiective

Patru exemple de poliedre abstracte netradiționale sunt semi-cubul [3] (prezentat în figură), semi-octaedrul , semi-dodecaedrul și semi-icosaedrul . Aceste poliedre sunt omoloage proiective ale poliedrelor obișnuite și pot fi realizate ca poliedre proiective  — ele teselează planul proiectiv real .

Jumătate de cub este un alt exemplu în care notația de vârfuri este inaplicabilă - toate cele 2 fețe și 3 fețe au același set de vârfuri.

Dualitate

Orice poliedru are un dual , un poliedru în care ordinea parțială este inversată - diagrama Hasse a poliedrului dual este aceeași ca pentru original, dar inversată ("cu susul în jos"). Fiecare k -față originală a n -politopului trece în fața ( n  -  k  - 1) a dualului. Deci, de exemplu, n -fața trece în fața (−1). Politopul dual al dualului este identic ( izomorf ) cu cel original.

Un politop este auto-dual dacă coincide cu politopul său dual, adică este izomorf cu dualul. Astfel, diagrama Hasse a unui politop auto-dual trebuie să fie simetrică față de axa orizontală. Piramida pătrată din exemplul de mai sus este un poliedru auto-dual.

Figura vârfului de la vârful V este duala feței corespunzătoare a poliedrului dual.

Poliedre regulate abstracte

Formal, un politop abstract este definit ca „regulat” dacă grupul său de automorfism acționează tranzitiv asupra setului de steaguri. În special, oricare două k -fețe F și G ale unui n -politop sunt „același” , adică există un automorfism care mapează F la G. Când un politop abstract este regulat, grupul său de automorfism este izomorf cu grupul de factori al grupului Coxeter .

Toți politopii de rang ≤ 2 sunt regulați. Cele mai cunoscute poliedre regulate sunt cele cinci solide platonice. De asemenea, jumătate de cub (prezentat în imagine) este corect.

Informal, aceasta înseamnă că pentru fiecare rang k , nu există nicio modalitate de a distinge orice k - față de oricare alta - fețele trebuie să fie aceleași și trebuie să aibă aceiași vecini și așa mai departe. De exemplu, un cub este regulat deoarece toate fețele sale sunt pătrate, fiecare vârf al unui pătrat aparține la trei pătrate și fiecare pătrat este înconjurat de aceleași alte fețe, muchii și vârfuri și așa mai departe.

Această condiție fără adăugiri este suficientă pentru ca un poliedru abstract să aibă fețe regulate izomorfe ( n - 1) și figuri de vârf izomorfe regulate.

Aceasta este o condiție mai slabă decât corectitudinea pentru poliedre tradiționale, deoarece se referă la grupul de automorfism (combinatoriu), nu la grupul de simetrie (geometrică). De exemplu, orice poligon abstract este corect deoarece unghiurile, lungimile marginilor, curbura marginilor, deformarea etc. nu există pentru poliedre abstracte.

Există și alte concepte de slăbire, unele nu tocmai standardizate, cum ar fi poliedre semiregulate , cvasiregulare , uniforme , chirale și solide arhimediene , care se aplică poliedrelor în care unele, dar nu toate fețele sunt echivalente pentru fiecare rang.

Un exemplu de poliedru neregulat

Având în vedere cât spațiu este acordat poliedrelor regulate, s-ar părea că toate poliedrele sunt regulate. De fapt, poliedrele obișnuite sunt cazuri foarte speciale.

Cel mai simplu poliedru neregulat este piramida pătrată , deși are multe simetrii.

Figura prezintă un exemplu de poliedru fără simetrie netrivială - nicio pereche de vârfuri, muchii sau 2 fețe nu este „la fel” ca definit mai sus. Poate că acesta este cel mai simplu dintre aceste poliedre.

Implementări

Orice poliedru tradițional este un exemplu de realizare a poliedrului său abstract subiacent. Același lucru este valabil și pentru plăcile planului sau a altor colectoare liniare pe bucăți în dimensiuni de două sau mai multe. Acestea din urmă includ, de exemplu, poliedre proiective . Ele pot fi obținute din poliedre folosind simetria centrală prin identificarea vârfurilor, muchiilor, fețelor opuse etc. În trei dimensiuni, acest lucru dă semi-cubul și jumătate-dodecaedrul și dualii lor, semi-octaedrul și semiicosaedrul .

Mai general, realizarea unui politop abstract obișnuit este un set de puncte din spațiu (corespunzător vârfurilor politopului), împreună cu structura feței generată pe acestea de politopul (abstract), iar această structură are cel puțin aceeași simetrii ca politop abstract original . Adică, toate automorfismele combinatorii ale poliedrelor abstracte sunt realizate prin simetrii geometrice. De exemplu, mulțimea de puncte {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} este o implementare a unui 4-gon (pătrat) abstract. Cu toate acestea, aceasta nu este singura implementare - puteți alege în schimb vârfurile unui tetraedru obișnuit. Pentru orice simetrie a unui pătrat, există o simetrie corespunzătoare a unui tetraedru regulat (există, totuși, mai multe simetrii pentru un tetraedru regulat decât pentru un 4-gon abstract).

De fapt, orice politop abstract cu v vârfuri are cel puțin o realizare ca vârf al unui simplex ( v  − 1)-dimensional . Este adesea interesant să găsim o realizare în cea mai mică dimensiune.

Dacă un n - politop abstract este realizat în spațiu n -dimensional în așa fel încât aranjarea geometrică să nu încalce nicio regulă pentru poliedre tradiționale (cum ar fi fețele curbilinii sau crestele [4] de dimensiune zero), o astfel de implementare se spune că fi corect . În general, doar un set limitat de poliedre abstracte de rang n poate fi implementat corect pentru orice n - spațiu.

Problema unificării și poliedre universale

Teoria de bază a structurilor combinatorii cunoscută acum ca „politopi abstracti” (numite inițial „politopi de incidență” - poliedre incidente) este descrisă în teza de doctorat a lui Egon Schulte, deși se bazează pe lucrările anterioare ale lui Branko Grünbaum , Harold Coxeter și Jacques Tits . . De atunci, cercetările în teoria politopilor abstracti s-au concentrat în principal pe politopii obișnuiți , adică politopii ale căror grupuri de automorfism acționează tranzitiv asupra setului steag al politopului.

O problemă importantă în teoria poliedrelor abstracte este problema amestecării . Sarcina constă dintr-o serie de întrebări precum

De exemplu, dacă K este un pătrat și L  este un triunghi, răspunsurile la aceste întrebări sunt următoarele

Se știe că dacă răspunsul la prima întrebare este da ( Da ) pentru un K și L propriu -zis , atunci există un politop unic ale cărui fațete sunt K și ale cărui figuri de vârf sunt L. Acest politop este numit politop universal cu aceste fațete și figuri de vârf, care acoperă toate politopurile de acest tip. Adică, să presupunem că P este un politop universal cu fațete K și figuri de vârf L . Atunci orice alt politop Q cu aceste fețe și figuri de vârfuri poate fi scris ca Q = P / N , unde

• N  este un subgrup de automorfisme ale grupului P
• P / N este mulțimea de orbite ale elementelor lui P sub acțiunile lui N cu ordinea parțială generată de grupul P .

Q = P / N se numește câtul lui P și spunem că P acoperă Q .

Având în vedere acest fapt, căutarea poliedrelor cu fațete selectate și figuri de vârfuri urmează de obicei următorul scenariu:

1. Încercăm să găsim un poliedru universal
2. Încercăm să clasificăm private.

Aceste două sarcini sunt, în general, foarte dificile.

Revenind la exemplul de mai sus, dacă K este un pătrat și L  este un triunghi, politopul universal { K , L } va fi un cub (care este scris ca {4,3}). Semicubul este relația {4,3}/ N , unde N  este un grup de simetrii (automorfisme) cu două elemente — simetria de identitate și simetria care mapează fiecare colț (muchie sau față) la elementul opus.

Dacă L este, de asemenea, un pătrat, politopul universal { K , L } (adică {4,4}) este împărțirea spațiului euclidian cu pătrate. Această placă are un număr infinit de coeficienti pătrați, patru pe vârf, dintre care unii sunt regulați, iar alții nu. Cu excepția celui mai universal poliedru, toți coeficientii corespund diferitelor moduri de placare cu pătrate a suprafeței unui tor sau a unui cilindru infinit de lung .

Unsprezece celule și cincizeci și șapte de celule

Celulele unsprezece , descoperite independent de Coxeter și Grünbaum , este un poliedru abstract cu 4 dimensiuni. Fețele sale sunt semi-icozaedre. Deoarece fațetele sunt, din punct de vedere topologic, planuri proiective și nu sfere, o celulă de unsprezece nu este o terasare a vreunei varietăți în sensul obișnuit. În schimb, o celulă unsprezece este un politop proiectiv local . Celulele unsprezece nu sunt doar frumoase din punct de vedere matematic, ci sunt importante din punct de vedere istoric, fiind primul poliedru abstract neconvențional care a fost descoperit. Poliedrul este auto-dual și universal - este singurul poliedru cu fațete hemi-icosaedrice și figuri de vârf semi-dodecaedrice.

Celulă de 50 este, de asemenea, auto-duală, are fațete semi-dodecaedrice. Poliedrul a fost găsit de Harold Coxeter la scurt timp după descoperirea celor unsprezece celule. Asemenea celui cu unsprezece celule, este universal, fiind singurul poliedru cu fațete semidodecaedrice și figuri de vârf semi-icosaedrice. Pe de altă parte, există multe alte politopi cu fațete semi-dodecaedrice și simbolul Schläfli {5,3,5}. Poliedrul universal cu fațete semidodecaedrice și figuri icosaedrice (nu semiicosaedrice) este finit, dar foarte mare, are 10006920 de fațete și jumătate din câte vârfuri.

Topologie locală

Problema fuziunii, din punct de vedere istoric, era legată de topologia locală . Adică, în loc să restrângeți K și L la politopi specifici, sunt permise orice politope cu o topologie dată , adică orice tip de poliedră a unei varietăți date . Dacă K și L sunt sferice (adică mosai ale unei sfere topologice ), atunci P se spune că este sferic local și corespunde unei mosai a unei varietăți. De exemplu, dacă K și L sunt ambele pătrate (și, prin urmare, din punct de vedere topologic, cercuri), P va fi o placare a unui plan, torus sau sticla Klein cu pătrate. O placă a unei varietăți n - dimensionale este, de fapt, un poliedru de rang n  + 1. Și acest lucru este în concordanță cu intuiția că solidele platonice sunt tridimensionale, chiar dacă pot fi considerate ca teselații ale suprafeței suprafața bidimensională a unei mingi.

În general, un politop abstract se numește local X dacă fațetele și figurile vârfurilor sale sunt, din punct de vedere topologic, fie sfere, fie X , dar nu sfere în același timp. Celulele unsprezece și cele cincizeci și șapte de celule sunt exemple de politopi de rang 4 proiectivi local (adică patru-dimensionali), deoarece fațetele și figurile lor de vârf sunt terasamente ale planurilor proiective reale . Există, totuși, o slăbiciune în terminologie aici. Definiția nu oferă modalități simple de a descrie poliedre ale căror fațete sunt tori și ale căror figuri de vârfuri sunt plane proiective, de exemplu. Este și mai rău atunci când diferite fațete au topologii diferite sau nu au nicio topologie definită. Cu toate acestea, a fost făcut un pas mare către clasificarea completă a n poliedre regulate toroidale local [5] .

Exchange Displays

Fie Ψ  steagul unui n -politop abstract și fie −1 <  i  <  n . Din definiția unui politop abstract, se poate dovedi că există un steag unic care diferă de Ψ printr-un singur element de rang i și, de altfel, este același. Dacă notăm un astfel de steag cu Ψ ( i ) , atunci aceasta definește un set de mapări steag ale poliedrului, să spunem φ i . Aceste mapări sunt numite mapări de schimb deoarece schimbă perechi de steaguri: ( Ψφ i ) φ i  =  Ψ [6] . Alte proprietăți ale mapărilor de schimb:

• φ i 2 maparea identităţii
• φ i formează un grup .
• Dacă | i  −  j | > 1, φ i φ j = φ j φ i
• Dacă α  este un automorfism al unui poliedru, atunci αφ i = φ i α
• Dacă politopul este regulat, grupul generat de φ i este izomorf cu grupul automorfism, în caz contrar este strict mai mare.

Hărțile de schimb pot fi folosite pentru a demonstra că orice politop abstract este derivat dintr-un politop obișnuit.

Matrice de incidente

Un poliedru poate fi reprezentat ca un tabel de incidență. Mai jos este matricea de incidență pentru un triunghi:

Un punct din tabel indică faptul că o față este o subfață a altei fețe (sau invers , astfel încât tabelul să fie simetric în diagonală ). Astfel, tabelul conține informații redundante , ar fi suficient să se arate un punct când numărul feței rândului ≤ numărul feței coloanei (matricea triunghiulară superioară).

Deoarece corpul în sine și setul gol sunt incidente cu toate celelalte elemente, primul rând și prima coloană, precum și ultimul rând și ultima coloană, sunt banale și pot fi omise.

Informații suplimentare pot fi obținute prin numărarea incidentelor. Această reprezentare numerică permite gruparea după simetrie ca în diagrama Hasse a unei piramide pătrate  - dacă vârfurile B, C, D și E sunt echivalente ca simetrie într-un poliedru abstract, atunci muchiile f, g, h și j sunt grupate împreună, și același lucru pentru muchiile k, l, m și n. În cele din urmă, triunghiurile ' P' , ' Q' , ' R' şi ' S' sunt de asemenea grupate . Matricea de incidență corespunzătoare a unui poliedru abstract ar putea arăta astfel:

În această matrice de incidență, elementele diagonale dau numărul total al fiecărui tip de element.

Este clar că elementele de diferite tipuri de același rang nu pot fi niciodată incidente, deci valoarea este întotdeauna 0, dar pentru a ajuta la recunoașterea acestei relații, tabelul folosește un asterisc (*) în loc de zero.

Elementele subdiagonale ale tabelului pentru fiecare rând reprezintă numărul de apariții ale subelementelor corespunzătoare, în timp ce elementele supradiagonale reprezintă numărul de apariții ale elementelor la vârfuri, muchii și alte forme.

Deja acest exemplu de piramidă pătrată arată că o astfel de matrice de incidență nu este simetrică. Cu toate acestea, rămân conexiuni simple ale elementelor de tabel, deoarece pentru astfel de matrice de incidență se aplică următoarele:

Istorie

Exemplele timpurii de poliedre abstracte au fost descoperite de către Coxeter și Petrie  , trei structuri infinite {4, 6}, {6, 4} și {6, 6}, pe care le-au numit infinitedre regulate skew .

În 1960, Branko Grünbaum a invitat comunitatea geometrică să discute o generalizare a conceptului de poliedre regulate , pe care l-a numit polistromata (poli + stromata [7] ). El a dezvoltat teoria arătând exemple de obiecte noi, inclusiv celula unsprezece .

O celulă de unsprezece este un poliedru cu patru dimensiuni auto-dual ale cărui fețe nu sunt icosaedre , ci „ semi-icosaedre ”. Adică, cifrele care se obțin dacă laturile opuse ale icosaedrului sunt considerate o (aceeași) față (Grünbaum, 1977). La câțiva ani după descoperirea de către Grünbaum a celei unsprezece , Coxeter a descoperit un poliedru similar, cincizeci și șapte de celule (Coxeter 1982, 1984), apoi a redescoperit independent celula de unsprezece.

Egon Schulte a definit „complexele incidente regulate” și „poliedre incidente regulate” în disertația sa din anii 1980, care a oferit prima definiție modernă. Ulterior, el și Peter McMullen au dezvoltat teoria de bază într-o serie de lucrări care au fost ulterior compilate într-o carte. Numeroși cercetători au contribuit de atunci, iar pionierii cercetării (inclusiv Grünbaum) au acceptat definiția lui Schulte ca fiind „corectă”.

Vezi și

• Eleven -cell și Fifty -seven-cell  sunt două poliedre abstracte regulate cu 4 dimensiuni
• Euler a comandat parțial set
• Pozet gradat
• poliedru regulat

Note

1. ↑ 1 2 poset = set parțial ordonat
2. ↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. 31.
3. ↑ În engleză, există doi termeni care pot fi traduși ca o jumătate de cub  - hemicube și demicube. Articolul este despre hemicube.
4. ↑ Un pieptene este o față de dimensiunea n -2. Pentru politopurile tridimensionale, creasta coincide cu marginea.
5. ↑ McMullen, Schulte, 2002 .
6. ↑ Hartley, Hulpke, 2010 , p. 107.
7. ↑ polistromata = poli + stromata, stromata = pl. ore de la stromă = bază, schelet

Literatură

• Peter McMullen, Egon Schulte. Politopuri regulate abstracte . — 1-a. - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .
• Lumea lui Jaron: Forme în alte dimensiuni , Descoperiți mag. , aprilie 2007
• Dr. Matrice de incidente Richard Klitzing
• E. Schulte. Manual de geometrie discretă și computațională / JE Goodman , O'Rourke, J.. - 2nd. - Chapman & Hall, 2004.
• Michael I. Hartley, Alexander Hulpke. Politopi derivati ​​din grupuri simple sporadice // Contributions to Discrete Mathematics. - 2010. - V. 5 , nr. 2 . - S. 106-118 . — ISSN 715-0868 .