Funcție obiectivă

O functie obiectiv este o functie reala sau intreaga a mai multor variabile care este supusa optimizarii ( minimizarea sau maximizarea ) pentru a rezolva o problema de optimizare. Termenul este folosit în programarea matematică, cercetarea operațională , programarea liniară , teoria deciziei statistice și alte domenii ale matematicii, în primul rând de natură aplicativă, deși scopul optimizării poate fi și soluția unei probleme matematice în sine [1]. Pe lângă funcția obiectiv, în problema de optimizare, variabilele pot fi supuse unor restricții sub forma unui sistem de egalități sau inegalități. În cazul general, argumentele funcției obiective pot fi specificate pe mulțimi arbitrare.

Exemple

Funcții netede și sisteme de ecuații

Problema rezolvării oricărui sistem de ecuații

\left\{{\begin{matrix}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2 },\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\end{matrix}}\ dreapta.

poate fi formulată ca o problemă de minimizare a funcţiei obiectiv

S=\sum _{j=1}^{N}F_{j}^{2}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{M})\qquad (1)

Dacă funcțiile sunt netede, atunci problema de minimizare poate fi rezolvată prin metode de gradient .

Pentru orice funcție obiectiv netedă, se poate echivala cu derivate parțiale în raport cu toate variabilele. Funcția obiectiv optimă va fi una dintre soluțiile unui astfel de sistem de ecuații. În cazul unei funcții, acesta va fi un sistem de ecuații cu cele mai mici pătrate (LSM) . Orice soluție a sistemului original este o soluție a sistemului celor mai mici pătrate. Dacă sistemul original este inconsecvent, atunci sistemul LSM, care are întotdeauna o soluție, face posibilă obținerea unei soluții aproximative a sistemului original. Numărul de ecuații ale sistemului LSM coincide cu numărul de necunoscute, ceea ce facilitează uneori rezolvarea sistemelor inițiale comune. $0$ $(unu)$

Programare liniară

Un alt exemplu binecunoscut de funcție obiectiv este o funcție liniară care apare în problemele de programare liniară. Spre deosebire de funcția obiectiv pătratică, optimizarea unei funcții liniare este posibilă numai dacă există restricții sub forma unui sistem de egalități sau inegalități liniare.

Optimizare combinatorie

Un exemplu tipic de funcție obiectiv combinatorie este funcția obiectiv a problemei vânzătorului ambulant . Această funcție este egală cu lungimea ciclului hamiltonian de pe grafic . Este dat pe setul de permutări ale vârfurilor graficului [2] și este determinat de matricea lungimii muchiei graficului. Soluția exactă a unor astfel de probleme se rezumă adesea la enumerarea opțiunilor. $n-1$

Note

↑ Funcție țintă, programare matematică // Dicționar enciclopedic matematic. - M .: „Bufnițe. enciclopedie" , 1988.
↑ O astfel de permutare unu-la-unu definește un ciclu hamiltonian pentru o matrice asimetrică de lungimi de muchii ale graficului.

Vezi și

Metode de optimizare

Literatură

Burak Ya. I., Ogirko IV Încălzirea optimă a unei carcase cilindrice cu caracteristici ale materialului dependente de temperatură // Mat. metode si fiz.-mekh. câmpuri. - 1977. - Emisiune. 5. - S.26-30