Sistem de coordonate cilindric

Un sistem de coordonate cilindric este un sistem de coordonate tridimensional , care este o extensie a sistemului de coordonate polare prin adăugarea unei a treia coordonate (notate de obicei cu ), care specifică înălțimea unui punct deasupra planului. $z$

Punctul este dat ca . În ceea ce privește un sistem de coordonate dreptunghiular : $P$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

$\rho \geqslant 0$ este distanța de la până la , proiecția ortogonală a punctului pe plan . Sau la fel ca distanța de la axă . $O$ $P'$ $P$ $X Y$ $P$ $Z$
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ este unghiul dintre axa si segment . $X$ $OP'$
$z$ este egal cu aplicarea unui punct . $P$

Când este utilizat în științe fizice și inginerie, standardul internațional ISO 31-11 recomandă utilizarea notației . $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

Coordonatele cilindrice sunt convenabile atunci când se analizează suprafețe care sunt simetrice față de o anumită axă, dacă axa este luată ca axă de simetrie. De exemplu, un cilindru rotund (suprafață cilindric) infinit de lung în coordonate dreptunghiulare are ecuația , iar în coordonate cilindrice are o ecuație foarte simplă . De aici provine numele „cilindric” pentru acest sistem de coordonate. $Z$ $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ $\rho=c$

Trecerea la alte sisteme de coordonate

Deoarece sistemul de coordonate cilindric este doar unul dintre multele sisteme de coordonate tridimensionale, există legi pentru transformarea coordonatelor între sistemul de coordonate cilindrice și alte sisteme.

Sistemul de coordonate carteziene

Ortele unui sistem de coordonate cilindrice sunt legate de ortele carteziene prin următoarele relații:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_ {y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}$

și formează un triplu drept:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\ {\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{ \varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}$

Relațiile inverse iau forma:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_ {\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\ varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}$

Legea transformării coordonatelor din cilindric în carteziene:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases))

Legea transformării coordonatelor de la carteziene la cilindrice:

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi ={\mathrm {arctg}}\left({\dfrac {y}{x }}\dreapta),\\z=z.\end{cases}}

Jacobianul este:

J=\rho .

Caracteristici diferențiale

Coordonatele cilindrice sunt ortogonale, deci tensorul metric are o formă diagonală în ele:

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{{ij}}={\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.

Pătrat diferențial de lungime a curbei

ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Coeficienții Lame au forma:

H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.

Simboluri Christoffel : $\{\rho,\;\varphi,\;z\)$

\Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\ rho }}.

Restul sunt zero.

Operatori diferențiali

Gradient în sistemul de coordonate cilindric:

{\mathrm {grad}}\,\psi ={\vec e}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec e}_{\varphi }{ \frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec e}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z} }.

Divergenta intr-un sistem de coordonate cilindric:

{\mathrm {div}}\,{\vec a}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\ frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.

Rotor în sistem de coordonate cilindric:

{\mathrm {putrezire}}\,{\vec a}={\mathrm {det}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{\rho }& {\vec e}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\ frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{ pmatrix}}={\vec e}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec e}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}} -{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec e}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac { \partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right ).

Expresii pentru vectorul rază , viteza și accelerația în coordonate cilindrice

$r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}$

${\dot {r}}(t)={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e ))_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}$

${\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}) {\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z }}{\vec {e}}_{z}$

Vezi și

Literatură

Khalilov V.R., Chizhov G.A., Dinamica sistemelor clasice: Proc. indemnizatie. - M .: Editura Universității de Stat din Moscova, 1993. - 352 p.

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonatele pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric