Euler a comandat parțial set

În combinatorică , un poset Euler este un poset gradat în care orice interval non-trivial are același număr de elemente de ranguri pare și impare. O mulțime parțial ordonată Euler care este o rețea se numește rețea Euler . Obiectele poartă numele lui Leonhard Euler . Rețelele Euler sunt o generalizare a rețelelor faciale poliedrelor convexe , iar multe cercetări moderne sunt dedicate extinderii rezultatelor binecunoscute ale combinatoriei poliedrelor , cum ar fi diverse restricții asupra vectorilor fpoliedre simple convexe , acestea sunt cazurile mai generale.

Exemple

• Rețeaua feței unui poliedru convex , constând din fețele sale, împreună cu cel mai mic element, fața goală, și cel mai mare element, poliedrul însuși, este o rețea Euler. Condiția par/impar rezultă din formula lui Euler .
• Orice sferă simplă de omologie generalizată este o rețea Euler.
• Fie L un complex de celule regulate astfel încât | l | este o varietate cu aceleași caracteristici Euler ca o hipersferă de aceeași dimensiune (condiția este lipsită de sens dacă dimensiunea este impară). Apoi, un set parțial ordonat de celule L cu o ordine determinată de includerea închiderilor lor este Euler.
• Fie W un grup Coxeter cu ordin Bruhat . Atunci ( W ,≤) este un poset Euler.

Proprietăți

• Condițiile din definiția unei mulțimi P ordonate parțial Euler pot fi exprimate echivalent în termenii funcției Möbius :

pentru toți

• Pozetul dual Euler obținut prin inversarea ordinii parțiale este Euler.
• Richard Stanley a introdus conceptul de vector h toric al unui poset clasat , care generalizează vectorul ''h'' unui politop simplu [1] . El a demonstrat că ecuațiile Dehn-Somerville

Ține pentru posetele Euler arbitrare de rang d  + 1 [2] . Totuși, pentru posetele Euler rezultate din complexe celulare regulate sau poliedre convexe, vectorul h toric nici nu definește și nici nu este determinat de numărul de celule sau fețe de dimensiuni diferite, iar vectorul h toric nu are o interpretare combinatorie directă.

Vezi și

• Poliedru abstract
• Star product , o metodă de combinare a posetelor care păstrează proprietatea Euler a posetelor

Note

1. ↑ Stanley, 1997 , p. 138.
2. ↑ Stanley, 1997 , p. Teorema 3.14.9.

Literatură

• Richard P Stanley. Combinatorică enumerativă. - Cambridge University Press, 1997. - Vol. 1. - ISBN 0-521-55309-1 .