Coordonate elipsoidale

Coordonate elipsoidale - un sistem de coordonate ortogonal tridimensional , care este o generalizare a unui sistem de coordonate eliptic bidimensional . Acest sistem de coordonate se bazează pe utilizarea suprafețelor confocale de ordinul doi . $(\lambda ,\mu ,\nu )$

Formule de bază

Coordonatele carteziene se obțin din coordonatele elipsoidale folosind ecuațiile $(x,y,z)$ $(\lambda ,\mu ,\nu )$

x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+ \nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right))),

y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+ \nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right))),

z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+ \nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right))),

în timp ce se impun restricţii asupra coordonatelor

-\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.

Suprafețele cu o constantă sunt elipsoide : $\lambda$

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,

Suprafețele cu o constantă sunt hiperboloizi cu o singură foaie $\mu$

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,

deoarece ultimul termen este negativ, iar suprafețele cu o constantă sunt hiperboloizi cu două foi $\nu$

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1,

întrucât ultimii doi termeni sunt negativi.

La construirea coordonatelor elipsoidale se folosesc suprafețe confocale de ordinul doi.

Factori de scară și operatori diferențiali

Pentru concizie, în ecuațiile de mai jos introducem funcția

S(\sigma)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\\left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \ dreapta)\stanga(c^{2}+\sigma \dreapta),

unde poate reprezenta oricare dintre cantitățile . Folosind această funcție, putem scrie factorii de scară $\sigma$ $(\lambda ,\mu ,\nu )$

h_{\lambda}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{ S(\lambda )}}},

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{ S(\mu )}}},

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{ S(\nu )}}}.

Prin urmare, un volum elementar infinitezimal poate fi scris ca

dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {- S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu ,

iar laplacianul are forma

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \ dreapta))){\frac {\partial }{\partial \lambda ))\left[{\sqrt {S(\lambda ))){\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda ))\right ]\ +

+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right))}{\frac { \partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu ))){\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\ +\ {\frac { 4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right))){\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu ))){\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right].

Alți operatori diferențiali, cum ar fi și , pot fi exprimați în coordonate prin înlocuirea factorilor de scară în formule generale pentru coordonatele ortogonale. $\nabla \cdot \mathbf {F}$ $\nabla \times \mathbf {F}$ $(\lambda ,\mu ,\nu )$

Vezi și

Focaloid (un înveliș definit de două suprafețe de coordonate)

Literatură

Morse PM, Feshbach H. Metode de fizică teoretică, partea I (neopr.) . - New York: McGraw-Hill Education , 1953. - S. 663.
Zwillinger D. Handbook of Integration (nedefinit) . — Boston, MA: Jones și Bartlett, 1992. - P. 114. - ISBN 0-86720-293-9 .
Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (neopr.) . - New York: Springer Verlag , 1967. - S. 101-102.
Korn GA, Korn TM Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri (engleză) . - New York: McGraw-Hill Education , 1961. - P. 176.
Margenau H., Murphy GM The Mathematics of Physics and Chemistry (nespecificat) . - New York: D. van Nostrand, 1956. - S. 178-180 .
Moon PH, Spencer DE Coordonate elipsoidale (η, θ, λ) // Manual de teorie a câmpurilor, inclusiv sistemele de coordonate, ecuațiile diferențiale și soluțiile lor . corectat a 2-a, a 3-a tipărire. - New York: Springer Verlag , 1988. - P. 40-44 (Tabelul 1.10). — ISBN 0-387-02732-7 .

Link -uri

Descrierea coordonatelor elipsoidale confocale la MathWorld

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonate pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric