Sistem de coordonate eliptic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 februarie 2018; verificarea necesită 1 editare .

Coordonatele eliptice sunt un sistem de coordonate ortogonal bidimensional în care liniile de coordonate sunt elipse și hiperbole confocale . Pentru două focusuri și sunt luate de obicei puncte și pe axele sistemului de coordonate carteziene . $F_{1}$ $F_{2}$ $-c$ $+c$ $X$

Definiție de bază

Coordonatele eliptice sunt de obicei definite de regula: $(\mu ,\;\nu )$

\left\{{\begin{matrix}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \ nu \end{matrice}}\right.

unde , . $\mu \geqslant 0$ $\nu \in [0,\;2\pi )$

Aceasta definește o familie de elipse și hiperbole confocale. Identitatea trigonometrică

{\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^ {2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1

arată că liniile de nivel sunt elipse și o identitate din geometria hiperbolică $\mu$

{\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{ 2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1

arată că liniile de nivel sunt hiperbole . $\nu$

Coeficienți lame

Coeficienții Lame pentru coordonatele eliptice sunt $(\mu ,\;\nu )$

H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {(\mathrm {ch} \,\mu \,\sin \,\nu )^{2}+(\mathrm {sh} \,\mu \,\cos \,\nu )^{2}}}=c{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.

Identitățile pentru unghiul dublu ne permit să le aducem la formă

H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}) .

Elementul zona este:

dS=c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,

iar laplacianul este

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu ))) \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2} }}\dreapta).

Alți operatori diferențiali pot fi obținuți prin înlocuirea coeficienților Lamé în formule generale pentru coordonatele ortogonale. De exemplu, gradientul unui câmp scalar se scrie: $\Phi (\mu ,\;\nu )$

\mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {1}{H_{\mu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\mathbf {e} _{ \mu }+{\frac {1}{H_{\nu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\mathbf {e} _{\nu },

Unde

\mathbf {e} _{\mu }=c(\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu ,\,\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu )

\mathbf {e} _{\nu }=c(-\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu ,\,\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu )

Altă definiție

Uneori este folosită o altă definiție mai intuitivă din punct de vedere geometric a coordonatelor eliptice : $(\sigma,\;\tau )$

\left\{{\begin{matrice}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matrice}}\right.

Deci liniile de nivel sunt elipse și liniile de nivel sunt hiperbole. în care $\sigma$ $\tau$

\tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.

Coordonatele au o relație simplă cu distanțele până la focare și . Pentru orice punct al avionului $(\sigma,\;\tau )$ $F_{1}$ $F_{2}$

\left\{{\begin{matrix}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matrix}}\right.

unde sunt distanțele până la focare , respectiv. $d_{1},\;d_{2)$ $F_{1},\;F_{2}$

În acest fel:

\left\{{\begin{matrix}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matrix}}\right.

Amintiți-vă că și sunt situate în punctele și respectiv. $F_{1}$ $F_{2}$ $x=-c$ $x=+c$

Dezavantajul acestui sistem de coordonate este că nu mapează unul la unu la coordonatele carteziene:

\left\{{\begin{matrix}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{ 2})\end{matrice}}\dreapta.

Coeficienți lame

Coeficienții Lame pentru coordonatele eliptice alternative sunt: $(\sigma,\;\tau )$

h_{\sigma}=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)}{\sigma ^{2}-1))};

h_{\tau }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.

Elementul zonă este

dA=c^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)}{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2 })}}}\,d\sigma \,d\tau ,

iar laplacianul este

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})))\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\ parțial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{ 2))}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].

Alți operatori diferențiali pot fi obținuți prin înlocuirea coeficienților Lamé în formule generale pentru coordonatele ortogonale.

Literatură

Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru oameni de știință și ingineri). - M. : Nauka, 1974. - 832 p.

Vezi și

Circumferința lui Apollonius

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonatele pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric