Energia Fermi

Energia Fermi (nivelul) ( ) a unui sistem de fermioni care nu interacționează este creșterea energiei stării fundamentale a sistemului atunci când se adaugă o particulă. Energia Fermi este echivalentă cu potențialul chimic al sistemului în starea sa fundamentală la temperatura zero absolut . Energia Fermi poate fi interpretată și ca energia fermionului maximă în starea fundamentală la temperatura zero absolută . Energia Fermi este unul dintre conceptele centrale ale fizicii stării solide. $E_F$

Pentru particule nerelativiste care nu interacționează cu spin 1/2 în spațiul tridimensional

E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}} \right)^{2/3},

Numele este dat în onoarea fizicianului italian Enrico Fermi . Aici este constanta Planck redusă , este masa fermionului , este concentrația de particule . $\hbar$ $m_{0}$ $N/V$

Fermionii - particule cu un spin semiîntreg , de obicei 1/2, cum ar fi electronii - se supun principiului de excludere Pauli , conform căruia două particule identice, care formează un sistem mecanic cuantic (de exemplu, un atom), nu pot lua același cuantic stat. Prin urmare, fermionii respectă statisticile Fermi-Dirac . Starea fundamentală a fermionilor care nu interacționează este construită pornind de la un sistem gol și adăugând treptat particule pe rând, umplând succesiv stările în ordinea creșterii energiei lor (de exemplu, umplerea orbitalilor de electroni ai unui atom cu electroni). Când se atinge numărul necesar de particule, energia Fermi este egală cu energia celei mai înalte stări ocupate (sau a celei mai mici stări neocupate: în cazul unui sistem macroscopic, diferența este neimportantă). Prin urmare, energia Fermi este numită și nivelul Fermi . Particulele cu o energie egală cu energia Fermi se mișcă cu o viteză numită viteza Fermi .

Într-un gaz cu electroni liberi (o versiune mecanică cuantică a unui gaz ideal de fermioni), stările cuantice pot fi etichetate în funcție de impulsul lor . Ceva similar se poate face pentru sisteme periodice, cum ar fi electronii care se deplasează în rețeaua atomică a unui metal , folosind așa-numitul cvasi -moment ( Particulă într-un potențial periodic ). În ambele cazuri, stările de energie Fermi sunt situate pe o suprafață în spațiul de impuls cunoscut sub numele de suprafața Fermi . Pentru un gaz cu electroni liberi, suprafața Fermi este suprafața unei sfere; pentru sistemele periodice, are în general o formă distorsionată. Volumul conținut sub suprafața Fermi determină numărul de electroni din sistem, iar topologia acestuia este direct legată de proprietățile de transport ale metalelor, cum ar fi conductivitatea electrică . Suprafețele Fermi ale majorității metalelor sunt bine studiate atât experimental, cât și teoretic.

Nivelul Fermi la temperaturi diferite de zero

Pentru cazul important al electronilor dintr-un metal la toate temperaturile rezonabile , putem considera , unde este potențialul chimic la o anumită temperatură, este constanta Boltzmann . Această situație se numește gaz Fermi degenerat . (În celălalt caz limitativ, se spune că gazul Fermi este nedegenerat, numerele de ocupare ale gazului Fermi nedegenerat sunt mici și pot fi descrise de statisticile Boltzmann clasice .) $T$ $kT\ll\mu$ $\mu$ $k$ $kT\gg\mu$

Energia Fermi a unui gaz Fermi liber este legată de potențialul chimic prin ecuație

\mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2} +{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right],

Prin urmare, potențialul chimic este aproximativ egal cu energia Fermi la temperaturi mult sub temperatura caracteristică Fermi . Temperatura caracteristică este de ordinul a 10 4 K pentru un metal, deci la temperatura camerei (300 K ), energia Fermi și potențialul chimic sunt de fapt echivalente. Acest lucru este semnificativ deoarece potențialul chimic nu este energia Fermi care intră în distribuția Fermi-Dirac [1] $E_{F}/k$

${{f}_{FD}}\left(E-\mu \right)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu \right)}\right )+1}}.$

La temperatura și energia fermionului egale cu , funcția de distribuție Fermi-Dirac tinde spre valoarea . La temperaturi scăzute, limita de umplere a stărilor de energie este întinsă simetric cu o cantitate de ordinul . În acest caz, probabilitatea de a umple stările electronice cu energia Fermi . La temperaturi ridicate, peterea devine asimetrică, iar valoarea potențialului chimic se deplasează în regiunea energiilor joase [1] . $T\la 0$ $E$ $E_F$ ${{f}_{FD}}\stanga(E_{F}-\mu (T)\dreapta)\la {\frac {1}{2}}$ $kT\ll {{E}_{F}}$ $E=E_{F}$ $kT$ ${{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu \right)\aprox 1/2$

Ca nivel Fermi la , se poate alege un nivel umplut exact la jumătate (adică nivelul stării , probabilitatea de umplere care cu o particulă este egală cu 1/2). $kT\ll {{E}_{F}}$

Energia, temperatura și viteza Fermi

Element	Energia Fermi, eV	Temperatura Fermi, ×10 000 K	Viteza Fermi, ×1000 km/s
Li	4,74	5.51	1.29
N / A	3.24	3,77	1.07
K	2.12	2.46	0,86
Rb	1,85	2.15	0,81
Cs	1,59	1,84	0,75
Cu	7.00	8.16	1,57
Ag	5.49	6.38	1.39
Au	5.53	6.42	1.40
Fi	14.3	16.6	2.25
mg	7.08	8.23	1,58
Ca	4,69	5.44	1.28
Sr	3,93	4,57	1.18
Ba	3,64	4.23	1.13
Nb	5.32	6.18	1,37
Fe	11.1	13.0	1,98
Mn	10.9	12.7	1,96
Zn	9.47	11.0	1,83
CD	7.47	8,68	1,62
hg	7.13	8.29	1,58
Al	11.7	13.6	2.03
Ga	10.4	12.1	1,92
În	8,63	10.0	1,74
Tl	8.15	9.46	1,69
sn	10.2	11.8	1,90
Pb	9.47	11.0	1,83
Bi	9,90	11.5	1,87
Sb	10.9	12.7	1,96
Ni	11.67		2.04
Cr	6,92		1,56

Relația dintre energia Fermi și concentrația electronilor de conducere

Concentrația electronilor de conducție în semiconductori degenerați este legată de distanța de la marginea benzii de energie parțial umplută până la nivelul Fermi. Această valoare pozitivă este uneori numită și energia Fermi, prin analogie cu energia Fermi a unui gaz de electroni liberi, despre care se știe că este pozitivă.

În metale, există de obicei mai multe benzi de energie parțial umplute; prin urmare, nu este posibil să se indice forma exactă a dependenței concentrației purtătorilor de sarcină liberă de poziția nivelului Fermi.

Vezi și

Nivel cvasi-Fermi

Note

↑ 1 2 N. Ashcroft, N. Mermin. FIZICA STĂRII SOLIDE. Volumul 1. - Moscova: Mir, 1979. - 458 p.

Literatură

Gusev V. G., Gusev Yu. M. Electronică. - M .: Liceu, 1991. - S. 53. - ISBN 5-06-000681-6 .