Operator hermitian

În matematică , un operator dintr - un spațiu Hilbert complex sau real se numește hermitian , simetric , dacă satisface egalitatea pentru toți din domeniul definiției . Aici și mai jos, se presupune că este produsul scalar în . Numele este dat în onoarea matematicianului francez Charles Hermite . $A$ $\mathfrak H$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $X y$ $A$ $(X y)$ $\mathfrak H$

Un operator din se numește auto-adjunct sau hermitian hipermaximal , dacă coincide cu adjunctul său . $\mathfrak H$

Operatorul auto-adjunct este simetric; invers, în general, nu este adevărat. Pentru operatorii continui definiți pe întreg spațiul, conceptele de simetric și autoadjuvant coincid.

Proprietăți

1. Spectrul (mulțimea de valori proprii ) al unui operator auto-adjunct este real .

Dovada

Pentru orice valoare proprie, prin definiție, este adevărată . Prin urmare, prin definiția unei transformări auto-adjuvante, următoarele expresii sunt egale: $\lambda$ $A\left( x \right) = \lambda x$

\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)

și

\left( {x,A\left(x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)

de unde este un număr real. $\lambda = \overline \lambda$ $\lambda$

2. În spațiile unitare cu dimensiuni finite, matricea unui operator autoadjunct este Hermitiană . (În special, în spațiul euclidian, matricea unui operator auto-adjunct este simetrică.)

Dovada

Într-un spațiu unitar, produsul interior este definit ca , unde și sunt coloanele de coordonate ale vectorilor și, respectiv. Prin urmare, prin definiția unui operator auto-adjunct, expresiile sunt egale $\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta$ $\xi$ $\eta$ $X$ $y$

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^TA^T \overline \eta

și

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta

Prin urmare, , care este definiția unei matrice hermitiene. $A^T = \overline A$

3. O matrice Hermitiană are întotdeauna o bază ortonormală de vectori proprii - vectorii proprii corespunzători diferitelor valori proprii sunt ortogonali.

Dovada Lema 1. Spațiile proprii ale unei transformări auto-adjuvante sunt ortogonale pe perechi. Dovada Lemei 1: Există două valori proprii distincte și . În consecință, pentru vectori și din spațiile proprii corespunzătoare ale acestora, și este valabil . Prin urmare , egal . Dar valorile proprii ale transformării auto-adjuvante sunt reale și pot fi derivate din ultima expresie . Astfel, conform definiției unei transformări autoadjuncte, putem obține , de unde, dacă valorile proprii sunt diferite , este clar că , ceea ce urma să fie demonstrat.

\lambda

\mu

X

y

A\left( x \right) = \lambda x

A\left(y \right) = \mu y

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left(y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left(y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)

\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0

\lambda \ne \mu

\left({x,y} \right) = 0

Lema 2. Dacă un subspațiu este invariant sub transformarea autoadjunctă , atunci complementul ortogonal al acestui subspațiu este de asemenea invariant sub .

e'

A

A

Dovada Lemei 2: Se știe că imaginea oricărui vector aparținând subspațiului se află în el. Prin urmare, pentru orice vector , . Deoarece transformarea este autoadjunctă, rezultă că , adică imaginea oricărui vector din aparține lui , ceea ce înseamnă că subspațiul este invariant sub transformarea A, care urma să fie demonstrată.

X

e'

y \în \left( {E'} \right)^ \bot

\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0

A

\left({x,A\left(y \right)} \right) = 0

y

\left({E'} \right)^ \bot

\left({E'} \right)^ \bot

\left({E'} \right)^ \bot

Dovada proprietății 3: Există cel puțin o valoare proprie pentru un operator R într-un spațiu n-dimensional . Prin proprietatea 1, această valoare proprie este reală. Se poate găsi vectorul propriu corespunzător e 1 . Fără a pierde generalitatea, putem presupune că . Dacă n=1, atunci demonstrația este completă.

\lambda_1

|e_1| = 1

Să considerăm E 1 - anvelopa liniară a elementului e 1 , care este un subspațiu propriu invariant unidimensional al lui R. Fie E n-1 complementul ortogonal la E 1 . Apoi, după Lema 2, E n-1 este invariant sub operatorul considerat. Considerați-l acum ca R', ca acționând numai în E n-1 . Atunci este evident că va fi un operator autoadjunct dat în E n-1 , deoarece E n-1 este invariant sub R după Lema 2 și, în plus, pentru x, y E n : (Rx, y) = (x, Ry) , inclusiv pentru x,y Е n-1 .

\pentru toți

\în

\pentru toți

\în

Aplicând raționamentul de mai sus, găsim o nouă valoare proprie și vectorul propriu corespunzător . Fără a pierde generalitatea, putem presupune că . În acest caz , poate coincide accidental cu , totuși, din construcție reiese că . Dacă n=2, atunci demonstrația este completă. În caz contrar, luați în considerare E - o înveliș liniar și complementul său ortogonal E n-2 . Găsiți o nouă valoare proprie și vectorul propriu corespunzător și așa mai departe.

\lambda_2

e_2

|e_2| = 1

\lambda_2

\lambda_1

(e_1, e_2) = 0

{(e_1, e_2)}

\lambda_3

e_3

Efectuăm raționament similar până la epuizarea lui Е n . Dovada este completă.

4. Pentru un operator hermitian A, determinantul det ||A|| matricea sa este egală cu produsul valorilor proprii.

Matrici

Conjugatul hermitian la matricea dată este matricea obținută din matricea originală prin transpunerea acesteia și trecerea la conjugatul complex, adică . Aceasta este o definiție naturală: dacă scriem o mapare liniară și operatorul său conjugat Hermitian în orice bază ca matrici, atunci matricele lor vor fi conjugate Hermitian. O matrice egală cu conjugarea ei hermitiană se numește hermitiană sau autoadjunctă: pentru ea . $A^{\dagger },$ $A$ $(A^{\dagger })_{ij}=A_{ji}^{*}$ $A^{\dagger }=A$

Aplicație

Operatorii hermitieni joacă un rol important în mecanica cuantică , unde reprezintă mărimi fizice observabile, vezi principiul incertitudinii lui Heisenberg .

Vezi și

Operator adjunct