Rata efectivă a dobânzii

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 2 august 2021; verificarea necesită 1 editare .

Rata efectivă a dobânzii ( EIR, EIR, Effective Interest Rate ) este rata dobânzii (rata de actualizare) la care valoarea actualizată a fluxului de numerar dintr-un instrument financiar (activ, pasiv, proiect de investiții etc.) este egală cu o estimare a valoarea curentă a acestui instrument (investiții). Rata efectivă a dobânzii poate fi determinată pentru orice perioadă de timp, dar rata anuală efectivă a dobânzii este de obicei implicită.

EIR este o rată a dobânzii compusă care ia în considerare valoarea în timp a banilor, permițându-vă să comparați între ele diverse fluxuri de numerar, instrumente, active, pasive, proiecte.

Diferite nume pot fi folosite în diferite situații. Pentru obligațiuni se folosește conceptul de randament până la scadență (YTM), pentru proiectele de investiții - rata internă de rentabilitate (INR, IRR, Internal Rate of Return).

Metoda EIR este metoda principală de măsurare a activelor și datoriilor financiare în IFRS (a se vedea IFRS 9) atunci când sunt contabilizate la costul amortizat. La recunoașterea inițială, un instrument este măsurat la valoarea justă și este utilizat pentru a determina EIR. În plus, valoarea instrumentului este determinată ca valoarea actualizată a fluxului de numerar din instrument așteptat după momentul curent la acest EIR inițial.

Descriere formalizată

Definiție generală

În conformitate cu definiția, EIR pentru un instrument financiar cu o valoare S (la un moment dat în timp) este în general definit ca o soluție în raport cu r a ecuației

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{t_{i}}}{(1+r)^{t_{i}}}}$

unde este plata pentru instrument în momentul de timp (timpul este socotit din momentul curent în unități de r). $CF_{t_{i)}$ $t_{i}$

Dacă EPS este determinat pentru o anumită perioadă de bază, atunci pentru a determina EPS pentru perioada T, care conține m perioade de bază (m nu este neapărat un număr întreg) în ecuația de mai sus în puteri ale factorilor de reducere, timpul trebuie, de asemenea, convertit în noi unități. , respectiv, în loc de a folosi . Acest lucru este echivalent cu utilizarea în loc de , prin urmare avem dobândă compusă, adică $t_{i}$ $t_{i}/m$ $1+r$ ${\displaystyle (1+R)^{1/m))$

$R=(1+r)^{m}-1$

EIR al unui instrument purtător de dobândă cu rambursarea integrală a sumei inițiale în timpul (sau la sfârșitul) termenului

Să fie îndeplinite simultan următoarele condiții pentru instrument:

1) plățile pentru un instrument financiar sunt doar plăți pentru rambursarea datoriei principale și a dobânzii pentru partea rămasă; 2) plățile se fac după o perioadă determinată de timp (denumită în continuare perioada de bază); 3) rata nominală a dobânzii conform acordului rămâne neschimbată pe toată durata acordului (o notăm q pentru rata pentru perioada de bază) și este utilizată pentru a calcula componenta procentuală a plăților: dobânda pentru această perioadă de bază este egală cu produsul de q ori soldul datoriei principale la începutul perioadei de bază; 4) pe durata contractului, suma inițială a datoriei este integral rambursată (programul specific de rambursare a datoriei nu contează, datoria poate fi rambursată integral chiar la sfârșitul termenului și pe parcursul termenului).

Se poate arăta că în aceste condiții, rata efectivă a dobânzii pentru perioada de bază este egală cu rata nominală a dobânzii pentru aceeași perioadă: . În același timp, EIR pentru o altă perioadă nu este egală cu rata nominală pentru aceeași perioadă, dar trebuie recalculată folosind formula dobânzii compuse. De exemplu, EPS pentru m perioade de bază va fi egal cu: , care nu coincide cu rata nominală pentru această perioadă: $r=q$ $R_{m}=(1+q)^{m)$ $Q=qm$

Dovada

EPS pentru perioada de bază este definită ca soluția în raport cu r a soluției ecuației:

S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+r)^{t}}}

În același timp, plățile constau în plăți pentru rambursarea datoriei principale și a dobânzii la partea rămasă:

CF_{t}=-\Delta {S_{t}}+I_{t}=S_{t-1}-S_{t}+qS_{t-1}=(1+q)S_{t -1}-S_{t}

Apoi, ecuația pentru găsirea EPS va arăta astfel:

S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}-S_{t}}{(1+r)^{t }}}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}}{(1+r)^{t}}}-\sum _{t =1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}={\frac {1+q}{1+r}}\sum _{t=1 }^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t }}{(1+r)^{t}}}

Să notăm pentru comoditate și ținând cont de ce și ce (la sfârșitul termenului instrumentul trebuie rambursat), ecuația pentru EIR va lua forma: $k={\frac {1+q}{1+r)}$ $\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}=\sum _{t=1}^ {n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}-{\frac {S_{n}}{(1+r)^{n}}}+S_{0 }$ $S_{n}=0$

S_{0}=k(\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}+S_{0})- \sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}

Prin urmare obținem egalitatea

(1-k)S_{0}=-(1-k)\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t} }}

Dacă atunci această expresie duce la o egalitate imposibilă: întrucât partea stângă și partea dreaptă a egalității sunt nenule și au semne opuse. Prin urmare, singura consecință a acestui lucru este că . Aceasta înseamnă că , adică ratele nominale și efective pentru perioada de bază sunt egale între ele, ceea ce urma să fie demonstrat. $k<>1$ $S_{0}=-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t)))$ $k=1$ $q=r$

Astfel, în cazul unor astfel de instrumente, EIR poate fi determinat nu prin rezolvarea ecuațiilor, ci printr-o formulă direct din rata nominală din contract și frecvența plăților. Dacă rata anuală nominală este egală cu Q, iar plățile se fac în perioade egale de t zile, atunci numărul perioadelor de bază pe an este egal cu m=365/t și rata dobânzii efective anuale va fi egală cu

$R=(1+Q/m)^{m}-1$

Exemple de astfel de instrumente purtătoare de dobândă sunt toate împrumuturile și depozitele standard, cu excepția cazului în care au venituri sau cheltuieli suplimentare luate în considerare la calcularea EIR. În același timp, nu contează graficul de plată (renitate, diferențiat, la sfârșitul termenului etc.), ceea ce contează sunt doar aceleași perioade de efectuare a plăților (sau capitalizarea dobânzii), absența altor fluxuri de numerar altele decât rambursarea datoriei principale și a dobânzii la soldul acesteia.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că, dacă dobânda este calculată, de exemplu, lunar, în funcție de numărul exact de zile dintr-o lună, atunci în mod formal lunile nu au aceeași durată, deci condițiile de mai sus nu sunt în întregime exacte. și, în consecință, formula de mai sus nu este exactă. Cu toate acestea, eroarea asociată cu aceasta nu este de obicei semnificativă și, în practică, în multe cazuri, aceasta poate fi neglijată.

Cel mai simplu caz special: un instrument purtător de dobândă cu rambursare a datoriei la sfârșitul termenului

În cel mai simplu caz, atunci când există un instrument (de exemplu, un împrumut sau o obligațiune) cu o valoare S (suma împrumutului, valoarea nominală), care se rambursează exact în aceeași sumă la sfârșitul termenului, la care dobândă este acumulat la o rată q pentru o perioadă de bază fixă (perioada cuponului) pe durata de viață a instrumentului, se poate demonstra direct că EIR pentru perioada de bază este egală cu rata nominală pentru perioada respectivă. Într-adevăr, ecuația pentru EPS anual pentru această perioadă de bază este

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q*S}{(1+r)^{i))}+{\frac {S}{(1+r) ^{n}}}=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}+S(1+r)^{-n}$

De aici

$S(1-(1+r)^{-n})=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}$

Reducerea părților din stânga și din dreapta cu obținem că q=r , adică EPS pentru perioada de bază și rata nominală pentru aceeași perioadă sunt egale între ele. $S(1-(1+r)^{-n})$

Rețineți că pentru aceeași obligațiune, achiziționată nu la valoarea nominală, ci la un alt preț de piață, afirmația de mai sus despre egalitatea EPS și rata nominală pentru perioada de bază nu mai este adevărată, deoarece o sumă diferită de cea inițială este rambursat în perioada respectivă.

Rata efectivă a dobânzii

Descriere formalizată

Definiție generală

EIR al unui instrument purtător de dobândă cu rambursarea integrală a sumei inițiale în timpul (sau la sfârșitul) termenului

Vezi și