Core (teoria categoriilor)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 ianuarie 2018; verificarea necesită 1 editare .

Teoria nucleului în categorii este echivalentul categoric al nucleului unui homomorfism din algebra generală ; intuitiv, nucleul unui morfism este „cel mai general” morfism după care aplicația dă morfismul nul . $f\coloan X\la Y$ $k\colon K\la X$ $f$

Definiție

Fie o categorie cu morfisme zero . Atunci nucleul morfismului este egalizatorul acestuia și morfismul zero . Mai explicit, următoarea proprietate generică este valabilă : ${\mathcal C}$ $f\coloan X\la Y$ $0\colon X\la Y$

Nucleul este un morfism astfel încât: $f\coloan X\la Y$ $k\colon K\la X$

$f\circ k$ este un morfism zero de la la : $K$ $Y$
pentru orice morfism care este nul, există un morfism unic astfel încât : $k'\colon K'\to X$ $f\circ k'$ $u\colon K'\to K$ $k\circ u=k'$

Exemple

În multe categorii, această definiție a nucleului coincide cu cea obișnuită: dacă este un homomorfism de grupuri sau module , atunci nucleul în sens categoric este o încorporare a nucleului în sens algebric în preimagine. $f\coloan X\la Y$

Cu toate acestea, în categoria monoizilor , nucleele sunt într-un sens categoric similare cu nucleele de grupuri, astfel încât definiția unui nucleu în teoria monoidului este ușor diferită. În categoria inelelor , dimpotrivă, nu există deloc sâmburi în sens categoric, deoarece nu există morfisme zero. Nuezele de monoizi și inele pot fi interpretate în teoria categoriilor folosind conceptul de perechi de sâmburi .

Legătura cu alte concepte categorice

Conceptul dual la nucleu este cokernel , adică nucleul unui morfism este cokernel-ul său în categoria duală și invers.

Fiecare nucleu, ca orice alt egalizator , este un monomorfism . În schimb, se spune că un monomorfism este normal dacă este nucleul altui morfism. O categorie se numește normală dacă fiecare monomorfism din ea este normal.

În special, categoriile abeliene sunt normale. În această situație, nucleul cokernel-ului unui morfism se numește imaginea sa . Mai mult, fiecare monomorfism este propria sa imagine.

Literatură

McLane S. Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Paolo Aluffy. Algebră: Capitolul 0. - 2009. - (Studii universitare de matematică). — ISBN 0-8218-4781-3 .