Miez de Dirichlet

Nucleul Dirichlet este o funcție -periodică dată de următoarea formulă [1] [2] : $2\pi$

D_{n}(x)=\sum _{{k=-n}}^{n}{\frac {e^{{ikx}}}{2}}={\frac {1}{2}} +\sum _{{k=1}}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right )}{2\sin(x/2)}}.

Funcția este numită după matematicianul franco-german Dirichlet . Această funcție este un nucleu , convoluție cu care dă o sumă parțială a seriei Fourier trigonometrice . Acest lucru ne permite să evaluăm analitic relația dintre funcția originală și aproximările sale în spațiu . $L_2[-\pi,\pi]$

Relația cu seria Fourier

Fie integrabil pe și -periodic, atunci $f(x)$ $[-\pi ,\pi ]$ $2\pi$ $\forall x\in {\mathbb {R}}~\forall n\in {\mathbb {N}}$

$S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\ sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _ {-\pi }^{\pi }f(x+u)D_{n}(u)du$

Această formulă este una dintre cele mai importante din teoria seriei Fourier.

Dovada

Luați în considerare a n-a sumă parțială a seriei Fourier.

$S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{{k=1}}^{{n}}(a_{k}\cos( kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)dt+\sum _{{k =1))^{n}\left[\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\cos(kt )dt\right)\cos(kx)+\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\sin(kt) )dt\dreapta)\sin(kx)\dreapta]\qquad (2)$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\left[{\frac 1{ 2}}+\sum _{{k=1}}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\ qquad(3)$

Aplicând formula cosinusului diferenței expresiei de sub semnul sumei, obținem:

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\left[{\frac 1{ 2}}+\sum _{{k=1}}^{n}\left(\cos(k(tx)\right)\right]dt\qquad (4)$

Luați în considerare suma cosinusurilor: ${\frac 1{2))+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )$

Înmulțim fiecare termen cu și transformăm conform formulei $2\sin({\frac \alpha {2)))$ $2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )$

$2\sin({\frac \alpha {2}})\left({\frac 1{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha ) \right)=\sin {\frac \alpha {2}}-\sin {\frac \alpha {2}}+\sin {\frac {3\alpha }{2}}-\sin {\frac {3 \alpha }{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha =\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha$

Aplicând această transformare la formula (4), obținem:

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t){\frac {\sin(n+ {\frac {1}{2)))(tx)}{2\sin {\frac {tx}{2))))dt\qquad (5)$

Facem o schimbare de variabilă $u=tx$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi -x}}^{{\pi -x}}f(x+u){\ frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac { u}{2}}}}du\qquad (6)$

Proprietăți ale nucleului Dirichlet

$D_{n}(x)$ este o funcție -periodică și uniformă . $2\pi$
$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du={\pi }$

Note

↑ Enciclopedia matematică / Vinogradov I.M. - M .: Enciclopedia sovietică. - T. 2. - S. 194.
↑ Dirichletkernel . (nedefinit)

Vezi și

Conjugați Dirichlet Kernel
Miezul lui Fejér
miezul lui Jackson