Miez Poisson

Nuezul Poisson este nucleul folosit pentru a rezolva ecuația Laplace bidimensională , ținând cont de condițiile la limită Dirichlet în cercul unitar . Nucleul poate fi reprezentat ca derivată a funcției lui Green pentru ecuația Laplace. Nucleul este numit după S. Poisson .

Nuezul Poisson joacă un rol important în analiza complexă deoarece integrala nucleului Poisson - integrala Poisson - extinde o funcție definită pe cercul unitar la o funcție armonică definită pe cercul unitar. Prin definiție, funcțiile armonice sunt soluții ale ecuației Laplace și - în cazul bidimensional - sunt echivalente cu funcțiile meromorfe . Astfel, problema Dirichlet bidimensională este în esență similară cu problema găsirii unei continuări meromorfe a unei funcții definite la limita domeniului . De asemenea, este posibil să se extindă definițiile nucleului Poisson la cazul n-dimensional.

Nuezele Poisson găsesc de obicei aplicații în teoria controlului și în electrostatică .

Nucleul Poisson în cazul bidimensional

Pe planul complex , nucleul Poisson este dat de $P_{r}(\theta )$

P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta}={\frac {1-r^ {2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i \theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.

Această formulă poate fi considerată din două părți: ca o funcție sau ca o familie de funcții pt $r(\Theta)$ $\Theta _{r)$ $0\leq r<1.$

Dacă domeniul este astfel încât este cercul unității în spațiul complex Lebesgue și dacă funcția este dată în domeniu , atunci funcția $D$ $D=\{z:|z|<1\}$ $f$ $D$

u(re^{i\theta})={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f (e^{it})\,\mathrm {d} t,\ \ \ 0\leq r<1

este o funcție armonică în regiune $D.$

Deoarece condițiile la limită ale funcției coincid cu condițiile la limită ale funcției , atunci at definește convoluția în spațiu $u$ $f$ $r\rightarrow 1\\P_{r}(\theta )$ $L^{p}(T).$

Convoluțiile cu această aproximare arată un exemplu de însumare a nucleului pentru seria Fourier în spațiu Fie ca funcția să aibă o serie Fourier După transformarea Fourier , convoluția este înmulțită cu seria $L^{1}.$ $f\in L^{1}(T)$ $\{f_{k}\}.$ $P_{r}(\theta )$ $\{r^{k}\}\în L^{1}(Z).$

Literatură

Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3 .
Axler, S.; Bourdon, P. & Ramey, W. (1992), Teoria funcției armonice , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7 .
King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5 .
Stein, Elias & Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
Weisstein, Eric W. Poisson Kernel (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Gilbarg, D. & Trudinger, N. , Ecuații diferențiale parțiale eliptice de ordinul al doilea , ISBN 3-540-41160-7 .