Complex celular abstract

Un complex de celule abstracte  este o mulțime cu topologia Aleksandrov în care un număr întreg nenegativ, numit dimensiune, este atribuit fiecărui punct. Conceptul este utilizat în topologia digitală pentru analiza imaginilor digitale bidimensionale și tridimensionale . Complexul este numit „abstract” deoarece punctele sale, numite „celule”, nu sunt subseturi ale unui spațiu Hausdorff , așa cum este necesar pentru complexele celulare utilizate în topologia algebrică și teoria homotopiei .

Istorie

Construcții similare cu un nivel similar de generalitate au fost considerate de Listing (1862) [1] , Steinitz (1908) [2] , Tucker (1933) [3] , Reidemeister (1938) [4] .

Steinitz a definit un complex celular abstract ca un triplu , unde  este o mulțime arbitrară,  este o relație de constrângere binară antisimetrică , ireflexivă și tranzitivă între elementele mulțimii și  este o funcție care atribuie un număr nenegativ fiecărui element dintr -un astfel de element. un mod în care dacă , atunci următorul lucru este adevărat: . „Complexul celular” din definiția lui Whitehead (1939) necesită separabilitatea spațiului și homeomorfismul celulelor la un cub euclidian unitar de dimensiunea corespunzătoare [5] , folosind în continuare această construcție pentru a defini un complex CW [6] . Aleksandrov în cartea sa „Topologie combinată” (1941, prima ediție a fost publicată în 1947 [7] ), definind un „complex celular”, a impus cerințele pentru prezența unei celule opuse în complex și certitudinea coeficientului de incidență. între fiecare pereche de celule de dimensiuni învecinate (aducând-o astfel cât mai aproape de complexul simplicial ).

Din 1989, complexele abstracte din definiția lui Steinitz au fost utilizate în cercetările privind problemele analizei imaginilor computerizate [8] [9] [10] .

Proprietăți

Topologia complexelor abstracte se bazează pe o ordine parțială pe mulțimea punctelor sau celulelor sale. Spre deosebire de un complex simplist , elementele unui complex abstract nu sunt simplexe , în special, un element -dimensional al unui complex abstract nu are neapărat laturi zero-dimensionale și nu fiecare submulțime a mulțimii de laturi zero-dimensionale este o celulă . Datorită acestui fapt, conceptul de complex celular abstract poate fi aplicat la rețele bidimensionale și tridimensionale utilizate pe scară largă în procesarea imaginilor , în timp ce acest lucru nu este posibil pentru un complex simplist. Este posibil să se introducă coordonate într-un complex abstract, deoarece există complexe non-simplice care sunt produse carteziene ale unor astfel de complexe unidimensionale conectate „liniare” în care fiecare (cu excepția a două) celulă zero-dimensională limitează exact două celule unidimensionale. . Numai complexele carteziene vă permit să introduceți astfel de coordonate încât fiecare celulă să aibă un set de coordonate și două celule diferite să aibă întotdeauna seturi diferite de coordonate. Un set de coordonate poate servi drept „nume” (identificator) al unei celule, care este important pentru procesarea complexelor. Complexele abstracte fac, de asemenea, posibilă introducerea topologiei clasice (topologia lui Aleksandrov) în rețele, care servesc drept bază pentru prelucrarea imaginilor, datorită cărora devine posibilă darea unor definiții precise ale conceptelor topologice de conectivitate și graniță subset. Dimensiunea celulelor este definită în cazul general diferit decât în ​​complexele simple.

Principala diferență față de complexele celulare utilizate în topologia algebrică este că complexul abstract nu impune cerințe privind separabilitatea spațiului. Acest lucru este important pentru lucrul cu un computer care nu poate fi prezentat cu spații separabile nediscrete .

Note

  1. ↑ Listing J.: „Der Census räumlicher Complexe”. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Volumul 10, Göttingen, 1862, pp. 97-182.
  2. ↑ Steinitz E.: „Beitraege zur Analysis”. Sitzungsbericht Berliner Mathematischen Gesellschaft, Volumul 7, 1908, p. 29-49.
  3. ↑ Tucker AW: „An abstract approach to multiples”, Annals Mathematics, v. 34, 1933, p. 191-243.
  4. ↑ Reidemeister K.: „Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplexe”. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig, 1938 (ediția a doua 1953)
  5. ↑ Complex celular - articol din Encyclopedia of Mathematics . D. O. Baladze
  6. ↑ Ulterior, în topologia algebrică, „complexele celulare” au început să fie numite complexe CW
  7. ↑ Alexandrov P. S. Topologie combinatorie. GITTL, 1947
  8. ↑ Kovalevsky V.: „Topologia finită aplicată analizei imaginii”, Computer Vision, Graphics and Image Processing, v. 45, nr. 2, 1989, p. 141-161.
  9. ↑ V. Kovalevski. Topologie digitală cu aplicații ale complexelor celulare la analiza imaginilor Arhivat 9 martie 2022 la Wayback Machine
  10. ↑ Klette R. și Rosenfeld. A.: „Geometrie digitală”, Elsevier, 2004.