Axiomele Steenrod-Eilenberg

Axiomele Steenrod-Eilenberg sunt un set de proprietăți de bază ale teoriilor de omologie identificate de Eilenberg și Steenrod .

Această abordare permite să se demonstreze rezultate, cum ar fi secvența Mayer-Vietoris , pentru toate teoriile de omologie simultan.

Axiome

Fie o succesiune de functori din categoria perechilor de spatii topologice la categoria grupurilor comutative , echipate cu o transformare naturala numita limita . (Iată o abreviere pentru .) $H_n$ $(X,A)$ $\partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A,\emptyset )$

Echivalența homotopie induce aceeași omologie. Adică, dacă este homotopic , atunci mapările lor induse sunt aceleași. $g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$ $h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$
Să presupunem că există o pereche și este o submulțime de , astfel încât închiderea sa este conținută în interiorul lui . Apoi includerea induce un izomorfism în omologie. $(X,A)$ $U$ $X$ $A$ $i\colon (XU,AU)\la (X,A)$
Să existe un spațiu topologic într-un punct, apoi pentru toți . $P$ $H_{n}(P)=0$ $n \neq 0$
Dacă , este o unire disjunctă a unei familii de spații topologice , atunci . $X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}$ $X_{\alpha }$ $H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha })$
Fiecare pereche induce o secvență lungă exactă de omologii de incluziune și : $(X,A)$ $i\colon A\la X$ $j\colon X\la (X,A)$ $\cdots \longrightarrow H_{n}(A)\,{\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X)\,{\stackrel {j_{*}} {\longrightarrow }}\,H_{n}(X,A)\,{\stackrel {\partial }{\longrightarrow }}\,H_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots .$

Literatură

C. Kosniewski Curs elementar de topologie algebrică