Secvența Mayer-Vietoris

Secvența Mayer-Vietoris este o secvență lungă naturală exactă care leagă omologia unui spațiu cu omologia a două mulțimi deschise care îl acoperă și intersecțiile lor.

Secvența Mayer-Vietoris poate fi scrisă pentru diverse teorii de omologie , inclusiv cele singulare , precum și pentru toate teoriile care satisfac axiomele Steenrod-Eilenberg .

Numit după doi matematicieni austrieci , Walter Mayer și Leopold Vietoris .

Formulare

Să presupunem că spațiul topologic este reprezentat ca o uniune de submulțimi deschise și . Secvența Mayer-Vietoris: $X$ $A$ $B$

{\begin{aliniat}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*)}}\,H_{n}(A\cap B)\ ,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{* ))}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*))}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}( A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0} (X)\rightarrow \,0.\end{aliniat}}

Aici mapările , , , sunt mapări de incluziune și denotă suma directă a grupurilor abeliene. $i\colon A\cap B\to A$ $j\colon A\cap B\to B$ $k\colon A\la X$ $l\colon B\la X$ $\oplus$

Maparea frontierei de reducere a dimensionalității poate fi definită după cum urmează. Un element din este reprezentat printr-un -ciclu , care poate fi scris ca suma a două -lanțuri și , ale căror imagini se află în întregime în și respectiv . Acest lucru poate fi realizat prin aplicarea subdiviziunii baricentrice de mai multe ori. $\partial _{*}$ $H_{n}(X)$ $n$ $X$ $n$ $u$ $v$ $A$ $B$ $X$

Deci , așa . Rețineți că ambele limite și se află în . Apoi este definită ca o clasă . În acest caz, alegerea expansiunii nu afectează valoarea lui . $\partial x=\partial u+\partial v=0$ $\partial u=-\partial v$ $\partial u$ $\partial v$ $A\cap B$ $\partial _{*}[x]$ $[\partial u]\in H_{n-1}(A\cap B)$ $x=u+v$ $[\partial u]$

Note

Mapările din secvență depind de alegerea ordinii pentru și . $A$ $B$
- În special, maparea limitelor își schimbă semnul dacă și sunt interschimbate. $A$ $B$

Aplicații

Omologie sferă

Pentru a calcula omologia unei sfere k - dimensionale , imaginați-vă sfera ca unirea a două discuri k -dimensionale și cu o intersecție echivalentă homotopic cu o sferă ecuatorială de dimensiuni . Deoarece și sunt contractibile, secvența Mayer-Vietoris implică acuratețea secvențelor $S^{k}$ $A$ $B$ $(k-1)$ $S^{k-1)$ $A$ $B$

0\rightarrow H_{n}(S^{k}){\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}(S^{k-1})\rightarrow 0

la . Exactitatea implică imediat că homomorfismul ∂ * este un izomorfism pentru . Prin urmare, $n\geqslant 1$ $n\geqslant 1$

H_{n}(S^{k})\cong \mathbb {Z}

, dacă ,

n=k,0

in caz contrar

H_{n}(S^{k})\cong 0

Sticla de Klein

Pentru a calcula omologia sticlei Klein, o reprezentăm ca unirea a două benzi Möbius și lipite de-a lungul cercului lor limită. Atunci , și intersecția lor sunt echivalente homotopic cu un cerc. Partea netrivială a secvenței dă $A$ $B$ $A$ $B$ $A\cap B$

0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \,\mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\alpha }}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{ 1}(X)\rightarrow 0

Partea trivială presupune reducerea la zero a omologiei în dimensiunile 3 și mai mari. Rețineți că , deoarece cercul limită al benzii Möbius se înfășoară de două ori în jurul liniei sale mediane. În special, este injectiv . Prin urmare, . Alegând o bază (1, 0) și (1, 1) în , obținem $\alpha (1)=(2,2)$ $\alpha (1)$ $H_{2}(X)=0$ $\mathbb {Z} ^{2}$

{H}_{1}\left(X\right)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2)

Variații și generalizări

Omologia redusă satisface, de asemenea, secvența Mayer-Vietoris sub presupunerea că și au o intersecție nevidă . Această secvență este identică cu cea obișnuită, dar se termină astfel: $A$ $B$ $\cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})))\,{\tilde {H }}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H} }_{0}(X)\rightarrow \,0.$
Pentru omologiile relative, secvența este următoarea: $\cdots \rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})))\,H_{n}(A, C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _ {*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow \cdots$

Vezi și

teorema lui Van Kampen