Grup abelian

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 august 2021; verificarea necesită 1 editare .

Grup abelian (sau comutativ ) - un grup în care operația de grup este comutativă ; cu alte cuvinte, un grup este abelian dacă pentru oricare două elemente . $(G,\;*)$ $a*b=b*a$ $a,\;b\în G$

De obicei, pentru a desemna o operație de grup într-un grup abelian, se folosește notația aditivă, adică o operație de grup este notată printr-un semn și se numește adunare [1] $+$

Numele este dat în onoarea matematicianului norvegian Niels Abel .

Exemple

Grupul de translații paralele în spațiu liniar.
Orice grup ciclic este abelian. Într-adevăr, pentru orice și este adevărat că $G=\lange a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- În special, mulțimea numerelor întregi este un grup comutativ prin adunare; același lucru este valabil și pentru clasele de reziduuri $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } \,.$
Orice inel este un grup comutativ (abelian) prin adăugarea sa; un exemplu este domeniul numerelor reale cu operația de adunare a numerelor. $\mathbb {R}$
Elementele inversabile ale unui inel comutativ (în special, elementele nenule ale oricărui câmp ) formează un grup abelian prin înmulțire. De exemplu, un grup abelian este un set de numere reale diferite de zero cu operația de înmulțire.

Definiții înrudite

Prin analogie cu dimensiunea spatiilor vectoriale , fiecare grup abelian are un rang . Este definită ca dimensiunea minimă a unui spațiu vectorial peste câmpul numerelor raționale , în care este încorporat factorul de torsiune al unui grup . $\mathbb {Q}$

Proprietăți

Grupurile abeliene generate finit sunt izomorfe la sumele directe ale grupărilor ciclice .
- Grupările abeliene finite sunt izomorfe la sume directe ale grupărilor ciclice finite.
Orice grup abelian are o structură de modul natural peste inelul de numere întregi . Într-adevăr, să fie un număr natural , și să fie un element al unui grup comutativ cu operația notată cu +, atunci putem defini atât ( ori ) cât și . $n$ $X$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Declarațiile și teoremele care sunt adevărate pentru grupurile abeliene (adică modulele peste un domeniu ideal principal ) pot fi adesea generalizate la module peste un domeniu ideal principal arbitrar. Un exemplu tipic este clasificarea
grupurilor abeliene generate finit , care poate fi generalizată la clasificarea modulelor arbitrare generate finit pe un domeniu de idealuri principale . $\mathbb {Z}$

Setul de homomorfisme ale tuturor homomorfismelor de grup de la la este el însuși un grup abelian. Într-adevăr, să fie două homomorfisme de grup între grupuri abeliene, atunci suma lor , dată ca , este de asemenea un homomorfism (acest lucru nu este adevărat dacă nu este un grup comutativ).

\operatorname {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\la H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Conceptul de abelianitate este strâns legat de conceptul de centru al unui grup - un set format din elementele sale care fac naveta cu fiecare element al grupului și joacă rolul unui fel de „măsură a abelianității”. Un grup este abelian dacă și numai dacă centrul său coincide cu întregul grup.

Z(G)

G

G

Grupuri abeliene finite

Teorema fundamentală privind structura unui grup abelian finit afirmă că orice grup abelian finit poate fi descompus într-o sumă directă a subgrupurilor sale ciclice, ale căror ordine sunt puteri ale primelor . Aceasta este o consecință a teoremei generale asupra structurii grupurilor abeliene generate finit pentru cazul în care grupul nu are elemente de ordine infinită. este izomorfă la o sumă directă dacă și numai dacă și sunt coprime . $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Prin urmare, se poate scrie un grup abelian sub forma unei sume directe $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

în două moduri diferite:

Unde sunt numerele prime $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Unde împarte , care împarte și așa mai departe până la . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

De exemplu, poate fi descompus într-o sumă directă a două subgrupe ciclice de ordine 3 și 5: . Același lucru se poate spune despre orice grup abelian de ordinul cincisprezece; ca rezultat, concluzionăm că toate grupurile abeliene de ordinul 15 sunt izomorfe. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Variații și generalizări

Un grup diferențial este un grup abelian în care un astfel de endomorfism este dat că . Acest endomorfism se numește diferenţial . Elementele grupurilor diferenţiale se numesc lanţuri , elemente ale ciclurilor - nucleu , elemente ale limitelor imaginii . ${\mathbf {C}}$ $d\colon {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$
Un inel este un grup abelian pe care este dată o operație binară suplimentară de „multiplicare”, care satisface axiomele distributivității .
Un grup metabelian este un grup al cărui subgrup comutator este abelian.
Un grup nilpotent este un grup a cărui serie centrală este finită.
Un grup rezolvabil este un grup a cărui serie de comutatoare se stabilizează pe grupul trivial.
Un grup Dedekind este un grup al cărui subgrup este normal .

Vezi și

Sistem algebric

Note

↑ Grupul abelian - articol din Encyclopedia of Mathematics . Yu. L. Ershov

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Fuchs L. Grupuri abeliene infinite. - Mir, 1974.

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier