Teoria omologiei

Teoria omologiei ( altă greacă ὁμός „egale, identică; comună; reciprocă” și λόγος „doctrină, știință ”) este o ramură a matematicii care studiază construcția unor invarianți topologici numite grupuri de omologie și grupuri de coomologie . Teoriile de omologie sunt numite și construcții specifice ale grupurilor de omologie.

În cel mai simplu caz, un spațiu topologic este asociat cu o succesiune de grupuri de omologie abeliene enumerate prin numere naturale . Sunt invarianți de homotopie și, spre deosebire de grupurile de homotopie , sunt mai ușor de calculat și mai clari din punct de vedere geometric, dar pentru spațiile pur și simplu conectate transportă aceeași cantitate de informații [1] . $X$ $H_{k}(X)$ $k$

Cu toate acestea, definiția omologiei este mai puțin explicită și utilizează unele mașini tehnice [2] , și, prin urmare, există mai multe teorii diferite ale omologiei - ambele definite numai pentru spații topologice „bune” sau care necesită o structură suplimentară , și mai complexe, concepute pentru a funcționa cu exemple patologice. Cu toate acestea, cu excepția unor astfel de cazuri patologice, de obicei coincid: pentru spațiile celulare, acest lucru este asigurat de axiomele Steenrod-Eilenberg .

Alte noțiuni comune ale teoriei omologiei sunt omologia cu coeficienții dintr-un grup abelian , omologia relativă a unei perechi de spații și coomologia , ale căror definiții sunt într-un anumit sens duale cu cea a omologiei. Adesea, coomologiile sunt luate în considerare din cauza prezenței înmulțirii pe ele , ceea ce le transformă într-o algebră gradată . $H_{k}(X,A)$ $A$ $H_{k}(X,Y)$ $X\supset Y$ $H^{k}(X)$ $H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\la H^{k+l}(X)$

Coomologiile sunt numite și invarianți asociati cu alte obiecte matematice - grupuri , algebre Lie , snopi . Ele sunt unite printr-o similitudine formală - de exemplu, prezența în definiția lor a conceptului de omologie a unui complex de lanț - și, în unele cazuri, prezența construcțiilor care asociază astfel de obiecte cu spații topologice cu omologii adecvate.

Definiție generală

Reamintim că -a-lea grup de homotopie a unui spațiu este mulțimea de mapări de la sfera -dimensională la , considerată până la o deformare continuă . Pentru a determina omologia, mapările sferelor sunt înlocuite cu -cicluri, care sunt reprezentate intuitiv ca filme închise (adică fără limite) orientate cu dimensiunea în interior , dar sunt formalizate diferit în diferite definiții. Condiția deformabilității continue este înlocuită cu condiția ca diferența de cicluri (unirea lor, în care al doilea este luat cu orientarea opusă) să fie o limită de ciclu orientată de dimensiunea încă una. $k$ $\pi _{k}(X)$ $X$ $k$ $X$ $H_{k}(X)$ $k$ $k$ $X$

În notația standard, grupul -cycle este (din germană Zyklus - „ciclu”), grupul -boundary este (din engleză limită - „border”), iar expresia „omologiile sunt cicluri până la granițe” este scrisă ca $k$ $Z_{k}(X)$ $k$ $B_{k}(X)$

H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)

Pentru a formaliza această idee, este necesară definirea strictă a ciclurilor și a limitelor acestora, ceea ce duce la unele dificultăți pentru ciclurile de dimensiune [1] . Soluția constă în definirea unui concept intermediar al unui grup -lanț constând din combinații liniare formale de mapări în unele elemente standard în funcție de construcția aleasă. O graniță de element standard este definită ca o combinație liniară de elemente standard cu o dimensiune mai mică cu orientări adecvate, care induce o mapare a graniței . Apoi -ciclurile sunt definite ca -lanțuri cu o limită zero (pentru ca egalitatea graniței la zero să aibă sens, este necesar să se ia nu numai combinații pozitive, ci și orice combinații liniare de elemente standard și să se specifice harta limitelor cu semn). Astfel, ciclurile sunt nucleul , iar marginile sunt imaginea afișajului de bord: $k>2$ $k$ $C_{k}(X)$ $X$ $\partial _{k}:C_{k}(X)\la C_{k-1}(X)$ $k$ $k$

Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\la C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X) )=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\la C_{k}(X))

Condiția ca toate limitele să fie cicluri ia forma condiției complexului de lanț : , iar omologia unui spațiu topologic este omologia acestui complex. $\partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0$

Alegerea elementelor standard și a afișajului chenar diferă în funcție de teorie. În teoria omologiei singulare , astfel de elemente sunt simplexe , iar harta limitelor asociază un simplex cu o sumă alternativă a fețelor sale. În teoria omologiei simpliale , definite pentru complexe simpliale, sunt și simplexe, dar nu toate, dar incluse în partiția simplială aleasă. În teoria omologiei celulare , definită pentru complexul celular , acestea sunt hipersfere dintr-un schelet adecvat, iar maparea limitelor este mai complicată.

Teorii omologice

Omologie simplă - Omologia este definită pentru spații foarte simple ( complexe simpliale ).

Ele sunt definite destul de simplu, dar dovada invarianței și funcționalității lor este destul de dificilă.

Omologia singulară este o altă teorie a omologiei propusă de Lefschetz . Definiția lor necesită lucrul cu spații infinit-dimensionale, dar invarianța și functorialitatea devin imediat evidente.

Omologia Cech este teoria omologiei cea mai adaptată pentru a lucra cu spații patologice.

Omologie cu coeficienți în grupuri arbitrare

Se pot defini omologii permițând coeficienților simplexelor din lanțuri să fie elemente ale oricărui grup abelian . Adică, în loc de grupuri , luați în considerare grupuri . $G$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(X)\otimes G$

Se notează grupuri de omologie (simplice, singulare etc.) de spații cu coeficienți în grup .De obicei, se folosește grupul de numere reale , numere raționale sau grupul ciclic de reziduuri modulo - și de obicei se ia - un prim număr, atunci este un câmp . $X$ $G$ $H_{k}(X;G).$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $m$ $\mathbb {Z} _{m}$ $m=p$ $\mathbb {Z} _{p}$

O altă descriere. Aplicarea la complex $C_{*}(X)$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\ xleftarrow {}}\ldots

functor , obținem un complex $\cdot \otimes G$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1 }(X)\otimes G{\xleftarrow {}}\ldots

a cărui omologie este omologia cu coeficienţi în . $G$

Coomologie

Pe lângă lanțuri, puteți introduce conceptul de colanțuri - mapări ale unui spațiu vectorial de lanțuri într-un grup . Adică spațiul cochainurilor . $G$ $C^{k}(X)=\operatorname {Hom} (C_{k}(X),G)$

Operatorul de frontieră este determinat de formula: (unde ). Pentru un astfel de operator de limită, avem și $\delta ^{k}:C^{k}\la C^{k+1}$ $(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$ $x\în C^{k},\;c\în C_{k+1}$

\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0

, și anume

(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{ k+2}c)=x(0)=0

Prin urmare, similar celor spuse mai sus, se pot introduce conceptele de cocicluri , cofrontiere și coomologie . $Z^{k}(X,G)=\operatorname {Ker} \delta ^{k)$ $B^{k}(X,G)=\operatorname {Im} \delta ^{k-1}$ $H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)$

Conceptul de coomologie este dual cu conceptul de omologie.

Dacă este un inel , atunci în grupul de coomologie este definită o multiplicare naturală (produsul sau produsul Kolmogorov-Alexander ), care transformă acest grup într-un inel gradat , numit inel de coomologie . $G$ $H^{*}(X,G)$ $\ceașcă$

În cazul în care este o varietate diferențiabilă , inelul de coomologie poate fi calculat folosind forme diferențiale pe (vezi teorema lui De Rham ). $X$ $H^{*}(X,\mathbb {R} )$ $X$

Conceptul de coomologie a fost introdus de Alexander și Kolmogorov .

Omologie relativă și secvență de omologie exactă

Să luăm cazul a două spații topologice . Un grup de lanțuri (lanțurile pot fi fie cu coeficienți întregi, fie cu coeficienți în orice grup ). Lanțurile relative vor fi numite elemente ale grupului de factori . Deoarece operatorul de limită pe grupul de omologie al subspațiului se traduce , este posibil să se definească operatorul de limită pe grupul de coeficient (il vom nota în același mod) . $Y\subset X$ $C_{k}(Y)\subset C_{k}(X)$ $G$ $C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ $d$ $Y$ $d_{k}\colon C_{k}(Y)\la C_{k-1}(Y)$ $C_{k}(X,Y)$ $d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\la C_{k-1}(X,Y)$

Acele lanțuri relative în care operatorul de limită le traduce vor fi numite bucle relative , iar lanțurile care sunt valorile sale vor granițe relative . Deoarece pe lanțurile absolute, același lucru va fi valabil și pentru cele relative, de aici . Grupul de factori se numește grup de omologie relativă . $0$ $Z_{k}(X,Y)$ $B_{k}(X,Y)$ $dd=0$ $B_{k}(X,Y)\subset Z_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)$

Deoarece fiecare ciclu absolut în este de asemenea relativ, avem un homomorfism Prin proprietatea functorială, încorporarea duce la un homomorfism . $H_{k}(X)$ $j_{k}:H_{k}(X)\la H_{k}(X,Y)$ $i_{k}:Y\la X$ $i_{*}:H_{k}(Y)\la H_{k}(X)$

La rândul nostru, putem construi un homomorfism , pe care îl definim după cum urmează. Fie un lanț relativ care definește un ciclu de la . Considerați-l ca un lanț absolut în (până la elemente ). Deoarece acesta este un ciclu relativ, acesta va fi egal cu zero până la un anumit lanț . Setăm egal cu clasa de omologie a lanțului . $d_{*k}:H_{k}(X,Y)\la H_{k-1}(Y)$ $c_{k}\în C_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(Y)$ $d_{k}c$ $c_{k-1}\în C_{k-1}(Y)$ $d_{*k}$ $c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)$

Dacă luăm un alt lanț absolut care definește același ciclu relativ, atunci vom avea , unde . Avem , dar din moment ce este granița la aceea și definim același element în grupul de omologie . Dacă luăm un alt ciclu relativ , care dă același element în grupul de omologie relativă , unde este limita relativă, atunci datorită faptului că limita pentru omologiile relative este , unde , prin urmare , dar , și este limita în . $c'_{k}\în C_{k}(X)$ $c=c'+u$ $u\în C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u$ $d_{k}u$ $Z_{k-1}(Y)$ $d_{k}c$ $d_{k}c'$ $H_{k-1}(Y)$ $c''$ $c=c''+b$ $b$ $b$ $b=d_{k+1}x+v$ $v\în C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v$ $dd=0$ $d_{k}v$ $Z_{k-1}(Y)$

Prin urmare, clasa de omologie este definită în mod unic. Din liniaritatea operatorului reiese clar că este un homomorfism. Deci avem homomorfisme: $d_{*k}c_{k}$ $d_{*k}$

i_{*k}\colon H_{k}(Y)\la H_{k}(X)

;

j_{*k}\colon H_{k}(X)\la H_{k}(X,Y)

și

d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\la H_{k-1}(Y)

;

...\la H_{k}(Y)\la H_{k}(X)\la H_{k}(X,Y)\la H_{k-1}(Y)\la...

Se poate dovedi că această secvență este exactă , adică imaginea oricărui homomorfism este egală cu nucleul următorului homomorfism.

Axiomele Steenrod-Eilenberg

Pe lângă omologia simplă și singulară deja cunoscută nouă, există și alte teorii de omologie și coomologie, de exemplu, omologia celulară , coomologia Alexandrov-Cech , coomologia de Rham etc. Steenrod și Eilenberg au definit un sistem de axiome pentru teorie. de (co)omologie. În primul rând, ei definesc așa-numitul. o clasă admisibilă de perechi de spații topologice care satisface următoarele proprietăți: $D$

Dacă atunci și . $(X,Y)\în D,$ $(X,X)\în D,$ $(X,\varnothing )\în D,$ $(Y,Y)\în D$ $(Y,\varnothing)\in D$
Dacă , atunci și , unde este intervalul închis [0,1]. $(X,Y)\in D$ ${\ displaystyle (X\ ori I, Y \ ori I) \ în D}$ $eu$
$(*,\varnothing )\în D$ , unde este un spațiu cu un punct. $*$

În teoria omologiei Steenrod-Eilenberg, fiecare pereche admisibilă și orice număr întreg k corespunde unui grup abelian , iar o mapare continuă a perechilor corespunde unui homomorfism (Spațiul este identificat cu perechea ) și cu ) , iar următoarele axiome sunt valabile. : $H_{k}(X,Y)$ $f\coloană (X,Y)\la (X',Y')$ $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\la H_{k}(X',Y')$ $X$ $(X,\varnothing )$ $H_{k}(X)$ $H_{k}(X,\varnothing )$

Maparea identității unei perechi corespunde homomorfismului de identitate . $id$ $id_{*k)$
$(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}$ ( functorial )
Un homomorfism de graniță este definit și dacă , atunci pentru homomorfismul corespunzător este adevărat pentru orice dimensiune . $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ $f\coloană (X,Y)\la (X',Y')$ $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\la H_{k}(X',Y')$ $d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}$ $k$
Fie și fie înglobări, și fie homomorfismele corespunzătoare, fie un homomorfism de limită. Apoi, succesiunea pe care o definesc este exactă ( axioma exactității ). $i\coloană Y\la X$ $j\coloană X\la (X,Y)$ $i_{*k}\colon H_{k}(Y)\la H_{k}(X)$ $j_{*k}\colon H_{k}(X)\la H_{k}(X,Y)$ $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\la H_{k-1}(Y)$
$\ldots \la H_{k}(Y)\la H_{k}(X)\la H_{k}(X,Y)\la H_{k-1}(Y)\la \ldots$
Dacă mapările sunt homotopice , atunci homomorfismele corespunzătoare sunt egale pentru orice dimensiune ( axioma invarianței homotopiei ). $f,g\colon (X,Y)\la (X',Y')$ $f_{*k}=g_{*k}$ $k$
Fie o submulțime deschisă a lui , iar închiderea sa este conținută în interiorul mulțimii , atunci dacă perechile și aparțin unei clase admisibile, atunci pentru orice dimensiune încorporarea corespunde unui izomorfism ( axiomă de tăiere ). $U\subset X$ $X$ $Y$ $(X\setminus U,Y\setminus U)$ $(X Y)$ $k$ $(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)$ $H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)$
Pentru un spațiu cu un singur punct pentru toate dimensiunile . Un grup abelian se numește grupul de coeficienți ( axioma dimensiunii ). $H_{k}(*)=0$ $k>0$ $G=H_{0}(*)$

Pentru omologia singulară, clasa admisibilă de perechi constă din toate perechile de spații topologice. Grupurile de omologie singulare definite anterior cu coeficienți în grupul lor de mapare și homomorfismul limită satisfac toate aceste axiome. Dacă luăm clasa poliedrelor ca o clasă admisibilă, atunci putem demonstra că omologiile definite folosind acest sistem de axiome coincid cu cele simple. $G$ $d_{*}$

În mod similar, putem introduce un sistem de axiome pentru coomologie, care este complet analog.

Este necesar doar să rețineți că maparea corespunde ( contravarianță ) și că homomorfismul de cofrontieră crește dimensiunea. $f\coloană (X,Y)\la (X',Y')$ $f^{*k}\colon H^{k}(X',Y')\la H^{k}(X,Y)$ $\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\la H^{k}(X,Y)$

Omologie extraordinară

În sistemul de axiome Steenrod-Eilenberg, axioma dimensiunii nu este la fel de importantă ca celelalte.

Teoriile de (co)omologie care pot avea grupuri de (co)omologie diferite de zero ale unui spațiu de un punct pentru dimensiuni sunt numite extraordinare sau generalizate. Cele mai importante teorii extraordinare sunt teoria K a lui Atiyah (de remarcat contribuția importantă la această teorie a lui Hirzebruch , Bott și Adams ) și teoria bordismului a lui R. Thoma . $k>0$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , p. 95.
↑ Hatcher, 2002 , p. 97.

Literatură

Wick J. W. Teoria omologiei. Introducere în topologia algebrică. — M .: MTsNMO , 2005
Dold A. Prelegeri de topologie algebrică. — M .: Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometry: Methods of homology theory. — M .: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Izhevsk: RHD, 2001
Lefshetz S. Topologie algebrică. — M .: IL, 1949
Novikov P. S. Topologie. - Ed. a II-a. corect si suplimentare - Izhevsk: Institutul de Cercetare în Calculatoare, 2002
Prasolov VV Elemente de teoria omologiei. — M .: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Topologie algebrică. — homotopie și omologie. — M .: Nauka, 1985
Spanier E. Topologie algebrică. — M .: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Fundamentele topologiei algebrice. - M. : Fizmatgiz, 1958
Fomenko AT , Fuchs DB Curs de topologie homotopică . - M. : Nauka, 1989. - 528 p. — ISBN 5020139297 .
Hatcher A. Topologie algebrică. - Cambridge University Press, 2002. -ISBN 0521795400.