Funcția analitică

O funcție analitică a unei variabile reale este o funcție care coincide cu seria sa Taylor în vecinătatea oricărui punct din domeniul definiției.

O funcție cu o singură valoare este numită analitică într-un punct dacă restricția funcției la o anumită vecinătate este o funcție analitică. Dacă o funcție este analitică într-un punct , atunci este analitică în fiecare punct din apropierea punctului . $f$ $z_{0}$ $f$ $z_{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$

O funcție analitică cu o singură valoare a unei variabile complexe este o funcție pentru care una dintre cele patru condiții echivalente este îndeplinită într-un domeniu simplu conectat , numit domeniul analiticității: $f(z)$ $A\subset {\mathbb C}$

Seria Taylor a funcției converge în fiecare punct , iar suma sa este ( analiticitate în sensul lui Weierstrass ). $z\în A$ $f(z)$
În fiecare punct , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann și . Aici , și sunt părțile reale și imaginare ale funcției luate în considerare. ( Analitic în sensul Cauchy-Riemann .) $z=x+iy\în A$ ${\frac {\partial u}{\partial x)}={\frac {\partial v}{\partial y)}$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
O integrală pentru orice curbă închisă ( analiticitate în sensul Cauchy ). $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \subset A$
Funcția este holomorfă în domeniul . Adică, este complex diferențiabilă în fiecare punct . $f(z)$ $A$ $f(z)$ $z\în A$

Cursul analizei complexe dovedește echivalența acestor definiții.

Proprietăți

Proprietăți aritmetice

Dacă și sunt analitice în domeniu $f(z)$ $g(z)$ $G\subset \mathbb {C}$

Funcțiile și sunt analitice în . $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $f(g(z))$ $G$
Dacă nu dispare în regiune , atunci va fi analitică în $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G$
Dacă nu dispare în regiune , atunci va fi analitică în . $f'(z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

O funcție analitică este infinit diferențiabilă în domeniul său de analiticitate. Pentru funcțiile complexe ale unei variabile, este adevărat și invers.

Unele proprietăți ale funcțiilor analitice sunt apropiate de proprietățile polinoamelor , ceea ce, totuși, nu este surprinzător - definiția analiticității în sensul lui Weierstrass indică faptul că funcțiile analitice sunt într-un fel variante limitative ale polinoamelor. Să presupunem că, conform teoremei fundamentale a algebrei , orice polinom poate avea zerouri nu mai mult decât gradul său. Pentru funcțiile analitice, o afirmație similară este adevărată, care rezultă din teorema unicității într-o formă alternativă:

Dacă mulțimea de zerouri a unei funcții analitice într-un domeniu simplu conectat are un punct limită în acest domeniu , atunci funcția este identic egală cu zero.
Pentru o funcție de mai multe variabile reale, a fi analitic în raport cu fiecare dintre variabile nu este suficient pentru ca funcția să fie analitică. Pentru o funcție a mai multor variabile complexe, a fi analitic în raport cu fiecare dintre variabile este suficient pentru ca funcția să fie analitică ( teorema lui Hartogs ).

Exemple

Toate polinoamele din z sunt funcții analitice pe întregul plan . $\mathbb {C}$

În plus, analitice, deși nu pe întregul plan complex, sunt funcțiile raționale , funcția exponențială , logaritmul , funcțiile trigonometrice, funcțiile trigonometrice inverse și multe alte clase de funcții, precum și sumele, diferențele, produsele, funcțiile analitice parțiale.

Exemple de funcții non-analitice pe includ $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\overline {z}$ ,

întrucât nu au în niciun moment o derivată complexă. În acest caz, restricția la axa reală va fi o funcție analitică a variabilei reale (deoarece coincide complet cu restricția funcției ). $f(z)=\overline {z}$ $f(z)=z$

Vezi și

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Per. din engleza. - Ed. a II-a, revizuită. — M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe: Un manual pentru învățământul superior. - M. - L .: Editura de Stat, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Conway, John B. Funcțiile unei variabile complexe I. — al 2-lea. - Springer-Verlag , 1978. - ( Texte de absolvent în matematică 11). - ISBN 978-0-387-90328-6 .
Krantz, Steven; Parks, Harold R.Unprimer al funcțiilor analitice reale . — al 2-lea. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Funcția analitică , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Funcție analitică (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Rezolvator pentru toate zerourile unei funcții analitice complexe care se află într-o regiune dreptunghiulară de Ivan B. Ivanov

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană mare chinezesc Rusă mare Ucraina modernă
În cataloagele bibliografice	BNF : 119507313 J9U : 987007294737305171 LCCN : sh85004784 NDL : 00564621 NKC : ph114039