Functie rationala

O funcție rațională, sau o funcție rațională fracțională sau o fracție rațională este o funcție numerică care poate fi reprezentată ca o fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame . , adică o expresie algebrică , fără radicali poate fi redusă la această formă .

Definiție formală

O funcție rațională [1] [2] , sau o funcție rațională fracțională [1] [3] , sau o fracție rațională [3] este o funcție numerică de forma

\mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),

unde sunt numere complexe ( ) sau reale ( ), este o expresie rațională a lui . O expresie rațională este o expresie matematică compusă dintr-o variabilă independentă (complexă sau reală) și un set finit de numere (respectiv complexe sau reale) folosind un număr finit de operații aritmetice (adică adunarea , scăderea , înmulțirea , împărțirea și creșterea ). la o putere întreagă ) [4 ] . $\mathbb {U}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R(u)$ $u$

O funcție rațională poate fi scrisă (nu în mod unic) ca un raport dintre două polinoame și : $P(u)$ $Q(u)$

R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+ \cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},

unde Coeficienții unei funcții raționale sunt coeficienții polinoamelor și : $Q(u)\nu \equiv 0.$ $P(u)$ $Q(u)$

a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}

și [4] .

{\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots,b_{m))

Cazuri speciale

O întreagă funcție rațională este o funcție a formei

\mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1)),

unde variabila este reală.

X

Funcție liniară fracțională - raportul dintre două funcții liniare ale unei variabile complexe:

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d)).

Transformarea Cayley

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {zi}{z+i)).

Funcția Jukovski este o funcție rațională a unei variabile complexe

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right ),

care are aplicații importante în hidromecanică , descoperită de N. E. Jukovski [5] .

Generalizări

Funcții raționale ale mai multor variabile (complexe sau reale)

\mathbb {U} ^{\max(n,m)}\la \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots,u_{\max(n, m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m} )}},

unde [4] .

Q(u_{1},u_{2},\dots,u_{m})\nu \equiv 0

Funcții raționale abstracte

R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_ {2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},

unde este un sistem liniar independent de funcții continue pe un spațiu compact și sunt coeficienți numerici [4] .

F_{1},F_{2},\dots,F_{\max(n,m))

A_{1},A_{2},\dots, A_{n},

B_{1},B_{2},\dots,B_{m)

Funcție rațională reală

Fracție rațională ireductibilă

O fracție rațională ireductibilă este o fracție rațională în care numărătorul este relativ prim față de numitorul [3] .

Orice fracție rațională este egală cu o fracție ireductibilă, care este determinată până la o constantă comună numărătorului și numitorului. Egalitatea a două fracții raționale este înțeleasă în același sens ca egalitatea fracțiilor în matematica elementară [3] .

Dovada

Mai întâi, demonstrăm că , dacă produsul polinoamelor și este divizibil cu , și și sunt coprimi, atunci este divizibil cu $f(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$ $\varphi(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ [6] .

1. Se știe că polinoamele și sunt relativ prime dacă și numai dacă există polinoame și astfel încât $f(x)$ $\varphi(x)$ $u(x)$ $v(x)$

f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.

2. Înmulțiți această egalitate cu : $g(x)$

[f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).

3. Ambii termeni ai acestei egalități sunt divizibili cu , prin urmare, este și divizibil cu . $\varphi(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$

Acum, folosind aceasta, vom demonstra că orice fracție rațională este egală cu o fracție ireductibilă, care este determinată până la o constantă comună numărătorului și numitorului [3] .

1. Orice fracție rațională poate fi redusă cu cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului său.

2. În plus, dacă două fracții ireductibile sunt egale:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))),

acesta este

f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).

apoi:

din simplitatea reciprocă rezultă că este divizibil cu ; $f(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$
din cosimplicitate rezultă că este divizibil cu . $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $f(x)$ $\varphi(x)$

Drept urmare, obținem asta $f(x)=c\varphi(x).$

3. Înlocuiți ultima expresie în cea originală, obținem:

c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),

g(x)=c\psi(x).

Deci am prins asta

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x))).

Fracție rațională proprie

O fracție rațională este proprie dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului. Polinomul zero 0 este o fracție proprie. Orice fracție rațională poate fi reprezentată într-un mod unic ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii [3] .

Dovada

Să demonstrăm ultima afirmație [3] .

1. Pentru orice fracție rațională , împărțind numărătorul la numitor, obținem: ${\frac {f(x)}{g(x)))$

f(x)=g(x)q(x)+r(x),

iar gradul este mai mic decât gradul . Împărțim ambele părți ale egalității la , obținem că o fracție rațională este suma unui polinom și a unei fracții proprii: $r(x)$ $g(x).$ $g(x)$

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x))).

2. Să demonstrăm unicitatea acestei reprezentări Dacă este valabilă și următoarea egalitate:

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x))),

unde, de asemenea, gradul este mai mic decât gradul , atunci scadem: $\varphi(x)$ $\psi (x)(x)$

q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)))= {\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x))).

3. În stânga ultimei egalități este un polinom. Deoarece gradul este mai mic decât gradul , iar gradul este mai mic decât gradul , atunci în dreapta ultimei egalități există o fracție proprie, deci $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $r(x)$ $g(x)$ $q(x)-q'(x)=0$

{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))-{\frac {r(x)}{g(x)))=0.

Cea mai simplă fracție rațională

O fracție rațională adecvată este cea mai simplă dacă numitorul ei este gradul unui polinom ireductibil : ${\frac {f(x)}{g(x)))$ $g(x)$ $p(x)$

g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,

iar gradul numărătorului este mai mic decât gradul de . Există două teoreme [3] . $f(x)$ $p(x)$

Teorema principală. Orice fracție rațională proprie se descompune într-o sumă de fracții simple.
Teorema unicității. Orice fracție rațională proprie are o expansiune unică într-o sumă de fracții simple.

Descompunerea unei fracții raționale propriu-zise într-o sumă de fracții simple

Extinderea unei fracții raționale adecvate într-o sumă de fracții simple este utilizată în multe probleme, de exemplu:

la integrarea [7] ;
când este extins într- o serie Taylor [8] ;
când este extins într- o serie Laurent [9] ;
când se calculează transformata Laplace inversă a unei fracții raționale [10] .

Exemplu

Exemplu. Extindeți o fracție proprie reală într-o sumă de fracții simple unde [3] : ${\frac {f(x)}{g(x))}),$

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,

g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.

Soluţie. 1. Este ușor să verifici asta

g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),

și sunt ireductibile. $x+2,$ $x-1,$ $x^{2}+1$

2. Să folosim metoda coeficienților nedeterminați . Din teorema principală rezultă că expansiunea dorită are următoarea formă:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}} }+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.

Rămâne să găsim numerele și $A$ $b,$ $C,$ $D$ $E.$

3. Să reducem proiectul de extindere la un numitor comun, obținem:

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=

=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)+

+B(x+2)(x^{2}+1)+

+C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+

+Dx(x+2)(x-1)^{2}+

+E(x+2)(x-1)^{2}.

Puteți obține un sistem de cinci ecuații liniare cu cinci necunoscute și egalând coeficienții la aceleași puteri din ambele părți ale ultimei egalități. Mai mult, din teorema principală și teorema unicității rezultă că acest sistem de cinci ecuații are o soluție unică. $A$ $b,$ $C,$ $D$ $E,$ $X$

4. Să folosim o altă metodă. Presupunand in ultima egalitate obtinem de unde Presupunand obtinem ca este Presupunand independent si obtinem sistemul $x=-2,$ $45A=135,$ $A=3.$ $x=1,$ $6B=6,$ $B=1.$ $x=0$ $x=-1,$

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{array}}\right.

De aici Să luăm Apare sistemul $D=1.$ $x=2,$ $20C+4E=-52.$

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{array}}\right.

de unde $C=-2,$ $E=-3.$

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}} }-{\frac {2}{x-1}}+{\frac {x-3}{x^{2}+1}}.

Proprietăți

Orice expresie care poate fi obținută din variabile folosind patru operații aritmetice este o funcție rațională. $x_1,\dots,x_n$
Mulțimea funcțiilor raționale este închisă sub operațiile aritmetice și operația de compunere și este, de asemenea, un câmp dacă coeficienții polinoamelor aparțin unui anumit câmp.

Fracții proprii

Orice fracție rațională de polinoame cu coeficienți reali poate fi reprezentată ca suma fracțiilor raționale, ai căror numitori sunt expresiile ( - rădăcină reală ) sau (unde nu are rădăcini reale), iar gradul nu este mai mare decât multiplicitatea lui rădăcinile corespunzătoare din polinom . Pe baza acestei afirmații se bazează o teoremă privind integrabilitatea unei fracții raționale. Potrivit acesteia, orice fracție rațională poate fi integrată în funcții elementare, ceea ce face ca clasa fracțiilor raționale să fie foarte importantă în analiza matematică. $(xa)^{k}$ $A$ $Q(x)$ $(x^{2}+px+q)^{k}$ $x^{2}+px+q$ $k$ $Q(x)$

Aceasta este legată de metoda de extragere a părții raționale din antiderivat din fracția rațională , care a fost propusă în 1844 de M. V. Ostrogradsky [11] .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Enciclopedia de matematică , vol. 2, 1979 , st. 387.
↑ Privalov I. I. Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe, 2009 , p. 226.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kurosh A. G. Curs de algebră superioară, 2021 , p. 161-165.
↑ 1 2 3 4 Enciclopedia de matematică , vol. 4, 1984 , st. 917-918.
↑ Enciclopedia matematică , vol. 2, 1979 , st. 426.
↑ Kurosh A. G. Curs de algebră superioară, 2021 , p. 141-142.
↑ Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I, 2019 , p. 292-295.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variable, 1971 , p. 50-51.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variable, 1971 , p. 62-63.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variable, 1971 , p. 125.
↑ M. Ostrogradsky. De l'integration des fractions rationelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie impériale des sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - Vol. IV. — Col. 145-167, 286-300.

Literatură

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funcțiile unei variabile complexe. calcul operațional. Teoria stabilității. M.: Nauka, 1971. 255 p., 77 ilustrații, bibl. 15 titluri.
Kurosh A. G. Un curs de algebră superioară: un manual pentru universități. Ed. a 22-a, ster. Sankt Petersburg: Lan, 2021. 431 p.: ill. ISBN 978-5-8114-6851-5 .
Enciclopedia matematică : cap. ed. I. M. Vinogradov , vol. 2 D-Koo. M .: „Enciclopedia Sovietică”, 1979. 1104 stb., Ill.
Enciclopedia matematică : cap. ed. I. M. Vinogradov , vol. 4 Ok-Slo. M .: „Enciclopedia Sovietică”, 1984. 1216 stb., Ill.
Privalov II Introducere în teoria funcţiilor unei variabile complexe : manual. Ed. a XV-a, ster. Sankt Petersburg: Lan, 2009. 432 p.: ill. ISBN 978-5-8114-0913-6 .
Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I. Ed. a 10-a, Rev. M.: MTsNMO, 2019. xii + 564 p., ill. 65, bibl. 54 de titluri 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (partea I).