Functie exponentiala

O funcție exponențială este o funcție matematică , unde se numește baza gradului și este exponent . $f(x)=a^{x}$ $A$ $X$

În cazul real, baza gradului este un număr real nenegativ (pentru numere negative, ridicarea la o putere reală non-întreg nu este definită), iar argumentul funcției este un exponent real. $A$
În teoria funcțiilor complexe , se consideră un caz mai general, când un număr complex arbitrar poate fi un argument și un exponent .
În forma sa cea mai generală , a fost introdus de Leibniz în 1695. $tu^{v}$

Este evidentiat in mod deosebit cazul in care numarul e actioneaza ca baza gradului . O astfel de funcție se numește exponent (real sau complex). În același timp, datorită faptului că orice bază pozitivă poate fi reprezentată ca o putere a numărului e, se folosește adesea conceptul de „exponent” în locul conceptului de „funcție exponențială”. $A$

Funcție reală

Definiția unei funcții exponențiale

Fie un număr real nenegativ, fie un număr rațional : . Apoi se determină pe baza proprietăților unui grad cu exponent rațional, conform următoarelor reguli. $A$ $X$ $x={\frac {m}{n}}$ $a^{x}$

Dacă , atunci . $x>0$ $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
Dacă și , atunci . $x=0$ $a\neq 0$ $a^{x}=1$
- Sensul este nedefinit (vezi Zero la puterea lui zero ). $0^{0}$
Dacă și , atunci . $x<0$ $a>0$ $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}} }$
- Valoarea pentru nu este definită. $a^{x}$ $x<0,a=0$

Pentru un indicator real arbitrar , valoarea poate fi definită ca limită a secvenței $X$ $a^{x}$

a^{x}=\lim _{n\la \infty }a^{r_{n))

unde este o succesiune de numere raționale care converg către . Acesta este $\{r_{n}\}$ $X$

\lim _{n\to \infty }r_{n}=x

Proprietăți

Proprietăți de exponențiere:

$a^{0}=1$
$a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
$(a^{x})^{y}=a^{xy)$
$(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
$a^{x}$ / = $b^{x}$ $(a/b)^{x)$

Intervale monotone:

Pentru , funcția exponențială crește peste tot și: $a>1$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (pentru toată lumea ) $n$
$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

Pentru , funcția scade, respectiv, și: $0<a<1$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (pentru toată lumea ) $n$
$\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$

Adică, funcția exponențială crește la infinit mai repede decât orice polinom . Rata mare de creștere poate fi ilustrată, de exemplu, prin problema plierii hârtiei .

Funcția inversă:

Prin analogie cu introducerea funcției rădăcină pentru funcția de putere , introducem funcția logaritmică , inversul exponențialului:

f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x

( logaritm de bază )

X

A

Numărul e:

Observăm proprietatea unică a funcției exponențiale, găsim (un astfel de număr a cărui derivată a funcției exponențiale este egală cu funcția în sine): $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ $A$

{\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0 }^{x}=a_{0}^{x}\,dx

Abilitatea de a defini este ușor de văzut după abrevierea pentru : $a_{0}$ $a_{0}^{x)$

a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx)

Alegând , obținem în sfârșit numărul Euler : $dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n)}$

a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Rețineți că funcția poate fi reprezentată într-un mod diferit ca o serie: (este ușor de stabilit validitatea prin diferențierea termen cu termen): $e^{x}$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{ 3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

De unde avem o aproximare mai precisă:

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}

Unicitatea unui număr este ușor de arătat prin variație . Într-adevăr, dacă trece undeva mai sus de , atunci pe același interval există o zonă în care . $e$ $e^{x}$ $e_{1}^{x)$ $e^{x}$ $(e_{1}^{x})'<e^{x}$

Diferenţiere:

Folosind funcția logaritm natural , se poate exprima o funcție exponențială cu o bază pozitivă arbitrară în termeni de exponent. După proprietatea gradului: , de unde prin proprietatea exponentului și după regula de diferențiere a unei funcții complexe: $\ln \,x:e^{\ln x}=x$ $a^{x}=e^{\ln(a)\,x)$

{\displaystyle (a^{x})'=\ln(a)a^{x))

Integrală nedefinită:

\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C

Potentarea si antilogaritmul

Potențiarea (din germană potenzieren [K 1] ) - găsirea unui număr după valoarea cunoscută a logaritmului său [1] , adică rezolvarea ecuației . Din definiția logaritmului rezultă că , astfel, ridicarea la o putere poate fi numită cu alte cuvinte „ potențare prin bază ”, sau calculul unei funcții exponențiale a lui . $\log _{a}x=b$ $x=a^{b}$ $A$ $b$ $b$ $A$ $b$

Antilogaritmul [2] al numărului x este rezultatul potențarii, adică numărul al cărui logaritm (pentru o bază dată ) este egal cu numărul [2] [3] : $A$ $X$

\operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.

Termenul de „antilogaritm” a fost introdus de Wallis în 1693 [4] . Ca concept independent, antilogaritmul este utilizat în tabele logaritmice [5] , reguli de calcul , microcalculatoare . De exemplu, pentru a extrage rădăcina cubă a unui număr folosind tabele logaritmice, ar trebui să găsiți logaritmul numărului împărțit la 3 și apoi (folosind tabelul de antilogaritmi) să găsiți antilogaritmul rezultatului. $A$ $A,$

Similar logaritmilor, antilogaritmul la bază sau 10 se numește natural [6] sau, respectiv, zecimal. $e$

Antilogaritmul se mai numește și logaritm inversat [3] .

În calculatoarele de inginerie , potențarea este reprezentată în mod standard ca două funcții: și . $e^{x}$ $10^{x}$

Funcție complexă

Pentru a extinde exponentul la planul complex, îl definim folosind aceeași serie, înlocuind argumentul real cu unul complex:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{ 3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots

Această funcție are aceleași proprietăți algebrice și analitice de bază ca și cea reală. Separând partea reală de partea imaginară din seria pentru , obținem celebra formulă Euler : $e^{{ix}}$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

Aceasta implică faptul că exponentul complex este periodic de-a lungul axei imaginare:

e^{z+2\pi i}=e^{z)

O funcție exponențială cu o bază complexă arbitrară și un exponent este ușor de calculat folosind exponentul complex și logaritmul complex .

Exemplu: ; întrucât (valoarea principală a logaritmului), obținem în final: . $i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}$ $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2))$ $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$

Vezi și

Note

↑ Potențiare / Dicționar enciclopedic matematic, M . : Enciclopedia sovietică, 1988, p. 479.
↑ 1 2 Antilogaritm / Dicționar enciclopedic matematic , M .: Enciclopedia sovietică, 1988, p. 73.
↑ 1 2 Antilogaritmul / Vinogradov, Enciclopedia Matematică, Volumul 1.
↑ Matematica secolului al XVII-lea // Istoria matematicii, în trei volume / Editat de A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 56.
↑ Tabele logaritmice / Dicționar enciclopedic matematic, M . : Enciclopedia sovietică, 1988, p. 330.
↑ Instrumente financiare - Echipa autorilor - Google Cărți . Preluat la 8 iulie 2021. Arhivat din original la 9 iulie 2021. (nedefinit)

Comentarii

↑ Termenul a fost găsit pentru prima dată de matematicianul elvețian Johann Rahn (1659).

Literatură

Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, volumele I, II. - M .: Fizmatlit , 2001. - ISBN 5-9221-0156-0 ,. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Antilogaritmul // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online) Treccani