Estimare normală asimptotic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 iunie 2018; verificările necesită 4 modificări .

O estimare normală asimptotic este, în statistica matematică , o estimare a cărei distribuție tinde către o distribuție normală pe măsură ce dimensiunea eșantionului crește.

Definiție

Să fie un eșantion din distribuția în funcție de parametru . $X_{1},\ldots, X_{n},\ldots$ $\mathbb {P} _{\theta }$ $\theta \în \Theta$

Se spune că o estimare punctuală este normală asimptotic cu varianță dacă ${\pălărie {\theta ))$ $\sigma \ ^{2}(\theta )$

{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\la Z

prin distribuție la ,

n\la\infty

unde este o variabilă aleatorie normală . $Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta)\right)$

Notă

În mod echivalent, o estimare este normală asimptotic dacă ${\pălărie {\theta ))$

{\frac {{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)}{\sigma (\theta )))\la {\tilde {Z}}

prin distribuție la ,

n\la\infty

unde . ${\tilde {Z}}\sim \mathrm {N} (0,1)$

Proprietăți

Estimarea normală asimptotic este consecventă . ${\pălărie {\theta ))$
Când sunt îndeplinite specificații suficient de generale, estimarea metodei momentelor este normală asimptotic.

Exemple

Fie un eșantion dintr-o distribuție uniformă continuă , unde . Lăsa $X_{1},\ldots, X_{n},\ldots \sim \mathrm {U} [0,\theta ]$ $\theta >0$

{\hat {\theta }}_{1}=2{\bar {X}}

unde este media eșantionului și ${\bara {X}}$

{\hat {\theta }}_{2}=X_{(n))

unde . Atunci estimatorul este normal asimptotic cu varianță , dar estimatorul nu este normal asimptotic. $X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots, X_{n})$ ${\hat {\theta }}_{1}$ $\sigma ^{2}(\theta )=\theta ^{2}/3$ ${\hat {\theta }}_{2}$