Bifurcația Andronov-Hopf

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 noiembrie 2018; verificările necesită 3 modificări .

În teoria sistemelor dinamice , bifurcația Andronov-Hopf este o bifurcare locală a unui câmp vectorial pe un plan, în timpul căreia un punct de focalizare singular își pierde stabilitatea atunci când o pereche de valori proprii complexe conjugate trece prin axa imaginară. În acest caz, fie un mic ciclu limită stabil se naște dintr-un punct singular ( flambaj moale ), fie, dimpotrivă, un mic ciclu limită instabil în momentul bifurcării se prăbușește în acest punct, iar grupul său de repulsie după bifurcare are o dimensiune. separat de zero ( flambaj dur ).

Pentru ca această bifurcare să aibă loc, este suficient, pe lângă trecerea valorilor proprii prin axa imaginară, să impună anumite condiții de tipicitate sistemului.

Bifurcația Andronov-Hopf și bifurcația nodului șa sunt singurele bifurcări locale ale câmpurilor vectoriale pe plan care apar în familiile tipice cu un parametru.

Definiție

Bifurcația Andronov-Hopf se numește forma normală

{\cfrac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+(\alpha +i\beta )|z|^{2}),

Unde

$z\in \mathbb {C} \;,$
$\lambda$ - parametru,
$\alfa$ este coeficientul Lyapunov.

Dacă este negativ pentru pozitiv , atunci bifurcația este supercritică, dacă este pozitivă pentru negativ - subcritic. $\alfa$ $\lambda$ $\lambda$

flambaj moale și dur

Termenii „soft” și „hard” sunt asociați cu descrierea comportamentului sistemului din punctul de vedere al unui observator „extern”, cu o evoluție lentă (în comparație cu dinamica sistemului) a parametrului sistemului și a zgomotul sistemului prin mici perturbații aleatorii. În cazul unei pierderi ușoare a stabilității, soluția se va muta de la poziția de echilibru (care a devenit instabilă) la ciclul limită - observatorul va vedea o „jitter” periodică a stării sistemului în apropiere de poziția de echilibru, care va crește cu parametrul crescător. Cu toate acestea, pe scara de timp a „mișcării parametrului”, „abaterile” soluției cresc continuu. Dimpotrivă, cu o pierdere puternică a stabilității, soluția se defectează „brut” și depășește granița bazinului de repulsie a ciclului limită dispărut: din punctul de vedere al unui observator care trăiește la o scară de timp în care parametrul schimbări, soluția a schimbat brusc regimul.

Literatură

V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Teoria bifurcațiilor // Sisteme dinamice-5. Rezultatele științei și tehnologiei. Probleme moderne de matematică. direcții fundamentale. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
V. I. Arnold , Capitole suplimentare ale teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare, p. 243. M.: Nauka, 1978.