Bifurcarea nodului șei

În teoria sistemelor dinamice , o bifurcare a nodului de șa este o bifurcare locală în care o pereche de puncte singulare ( stabile și instabile ) se contopesc într-un punct singular semi-stabil (nodul de șa), apoi dispar. Singura bifurcare care apare în familiile tipice cu un parametru de câmpuri vectoriale pe linie într-un mod neamovibil (adică este o bifurcare tipică a codimensionei 1 ).

Forma normală

animaţie

Luați în considerare un câmp vectorial pe o dreaptă care are un punct singular. Dacă un punct singular este nedegenerat ( derivata câmpului vectorial la el este diferită de 0), prin teorema funcției implicite , acesta este păstrat sub perturbații mici și nu are loc nicio bifurcare. Astfel, cel mai simplu caz, interesant din punctul de vedere al teoriei bifurcațiilor: prima derivată este egală cu zero. De obicei, a doua derivată este diferită de zero. Extinderea câmpului vectorial într- o serie Taylor și schimbarea sistemului de coordonate dacă este necesar, putem presupune că coeficientul la este egal cu -1. În acest caz, câmpul vectorial are forma: $x^{2}$

{\dot {x}}=-x^{2}+o(x^{2}).\quad \quad (1)

Deoarece punctul singular este degenerat, câmpul vectorial (1) nu este stabil din punct de vedere structural : o perturbare arbitrar de mică poate distruge punctul singular sau „împarte” în două. Se dovedește că orice mică perturbație nedegenerată a acestui câmp vectorial într-o vecinătate a punctului singular 0 este (topologic) echivalentă cu familia cu un parametru.

{\dot {x}}=\varepsilon -x^{2}\quad \quad (2)

Cu alte cuvinte, această familie va fi o deformare versală pentru ecuația (1). Familia (2) este o formă normală de bifurcare a nodului șa.

Scenariu de bifurcare

Luați în considerare familia (2). Sunt posibile trei cazuri:

Pentru , câmpul vectorial are două puncte singulare: . Unul dintre ele ( ) este stabil, celălalt ( ) este instabil. $\varepsilon >0$ $x=\pm {\sqrt {\varepsilon ))$ $x=+{\sqrt {\varepsilon ))$ $x=-{\sqrt {\varepsilon ))$
Pentru , câmpul vectorial are un punct singular nehiperbolic semistabil unic 0. $\varepsilon=0$
Pentru , câmpul vectorial nu are puncte singulare. $\varepsilon <0$

Astfel, o bifurcare a nodului șa poate fi descrisă ca procesul de naștere a unui punct singular semi-stabil și dezintegrarea lui ulterioară într-unul stabil și instabil, sau invers, ca un proces de îmbinare a unui singular stabil și instabil. punct într-unul semi-stabil cu dispariția sa ulterioară.

Dacă luăm în considerare un spațiu de fază bidimensional și adăugăm la ecuația (2) ecuația , pentru , punctul singular va fi un nod stabil , iar punctul singular va fi o șa . Fuzionarea la , ele formează un punct singular cu o valoare proprie zero și o valoare proprie diferită de zero , adică un nod șa . Aceasta explică numele bifurcației. ${\dot {y}}=-y$ $\varepsilon >0$ $({\sqrt {\varepsilon )),0)$ $(-{\sqrt {\varepsilon )),0)$ $\varepsilon=0$

Literatură

D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Mâncare. Forme normale și bifurcații ale câmpurilor vectoriale pe plan. - M. : MTSNMO, 2005. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .