Algebra sigma Borel

O algebră sigma Borel este o algebră sigma minimală care conține toate submulțimile deschise ale unui spațiu topologic (conține și toate cele închise ). Aceste submulțimi se mai numesc și Borel.

Dacă nu se specifică altfel, linia reală acționează ca un spațiu topologic .

Algebra sigma Borel acționează de obicei ca o algebră sigma a evenimentelor aleatoare într-un spațiu de probabilitate . Sigma-algebra Borel pe o linie sau pe un segment conține multe mulțimi „simple”: toate intervalele, semiintervalele, segmentele și uniunile lor numărabile.

Numit după Émile Borel .

Concepte înrudite

Un spațiu Borel este un spațiu topologic echipat cu o algebră sigma Borel.
O funcție Borel (Borel) este o mapare de la un spațiu topologic la altul (de obicei ambele sunt spații de numere reale ), pentru care imaginea inversă a oricărei mulțimi Borel este o mulțime Borel.
O măsură Borel este o măsură definită pe toate seturile deschise (și, prin urmare, pe toate seturile Borel) ale unui spațiu topologic.

Proprietăți

Fiecare Borel stabilit pe un interval este măsurabil în raport cu măsura Lebesgue , dar invers nu este adevărat.

Un exemplu de set Lebesgue măsurabil, dar nu Borel

Orice subset al unui set de măsură zero este automat măsurabil Lebesgue, dar un astfel de subset nu trebuie să fie Borel.

Luați în considerare o funcție pe interval , unde este scara Cantor . Această funcție este monotonă și continuă și, în consecință, este măsurabilă. Funcția inversă acesteia este, de asemenea, măsurabilă. Măsura imaginii setului Cantor este , deoarece măsura imaginii complementului său este . Deoarece măsura imaginii unui set Cantor este diferită de zero, este posibil să găsiți un set nemăsurabil în el . Apoi imaginea sa inversă va fi măsurabilă (din moment ce se află într-un set Cantor a cărui măsură este zero), dar nu și Borel (pentru că altfel ar fi măsurabilă ca imagine inversă a unui set Borel sub o mapare măsurabilă ). $f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))$ $[0,1]$ $c(x)$ ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {1}{2))$ $A$ $f^{-1}(A)$ $A$ $f^{-1}(x)$

Literatură

V. G. Kanovei, V. A. Lyubetsky. Teoria multimilor moderna: multimile Borel si proiective . - MTsNMO, 2010. - 320 p. — ISBN 78-5-94057-683-9.