Set măsurabil

O mulțime măsurabilă este o mulțime în matematică care are o funcție caracteristică măsurabilă (adică o funcție egală cu 1 pe această mulțime și egală cu 0 pe complementul acestei mulțimi) [1] .

Se spune că o mulțime este măsurabilă în raport cu măsura dacă aparține σ-algebrei pe care este definită . Pentru submulțimile spațiului euclidian , dacă măsura nu este specificată, se presupune că este măsura Lebesgue . $\mu$ $\mu$ $\mu$

Definiție în termeni de măsură exterioară

Să existe un semi- cerc S cu identitatea E și o măsură σ-aditivă pe acesta, ceea ce înseamnă că pentru orice mulțime se poate defini o măsură exterioară . Atunci mulţimea A se numeşte măsurabilă în raport cu măsura dacă $\mu$ $A\subset S$ $\mu$

\forall \varepsilon >0:\forall B\subset S:\mu ^{*}(A\triunghi B)<\varepsilon \Rightarrow B\in R(S):,

unde R(S) este inelul minim care conține S și este diferența simetrică a mulțimilor. În acest caz, mulțimea de mulțimi măsurabile va fi o σ-algebră, iar restricția măsurii exterioare la această mulțime va fi o măsură σ-aditivă. $\triunghi$

Proprietăți

Unirea unei colecții finite sau numărabile de mulțimi măsurabile este o mulțime măsurabilă [2] .

Note

↑ Shilov, 1961 , p. 158.
↑ Shilov, 1961 , p. 159.

Literatură

Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.