Variație (matematică)

Variație (din latină variație - schimbare, schimbare) este un termen introdus în matematică de J. L. Lagrange în 1762 în lucrarea sa „Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines” [1] pentru notarea unei deplasare mică a unei variabile independente sau funcționale.

Conceptul de „variație” a fost introdus ca parte a metodei variațiilor în studiul problemelor extreme, bazată pe mici deplasări ale argumentului și studiul modului în care funcționale se schimbă în funcție de acestea. Această metodă este una dintre principalele metode de rezolvare a problemelor extreme (de unde și numele secțiunii de matematică care studiază această problemă - „ calcul variațiilor ”).

Definiții înrudite

Luați în considerare un spațiu , pe care este dat funcționalul și este spațiul unor parametri. Sub variația argumentului , înțelegem de obicei curba , unde la , și , în spațiu care trece printr -o anumită apropiere de constrângeri, iar valoarea corespunde cu . Astfel, atunci când setul tuturor parametrilor parcurge, variațiile parcurg o anumită familie de curbe pornind de la punctul . $X$ $f(x)$ $V$ $x_{0}\în X$ $x(t,v)$ $\alpha \leqslant t\leqslant \beta$ $\alpha \leqslant 0$ $\beta \geqslant 0$ $v\în V$ $X$ $x_{0}$ $x_{0}$ $t = 0$ $v$ $x_{0}$

În analiza finite-dimensională și infinit-dimensională, pornind de la prima lucrare a lui J. Lagrange, se aplică de obicei variații în direcțiile , când și , . În acest caz, vectorul se numește variație . Dar acesta nu este singurul caz de variații, așa că în geometrie, în calculul variațiilor și mai ales în teoria controlului optim se folosesc, de exemplu, linii întrerupte , variații de ac [2] , variații asociate modurilor de alunecare [3] . $V=X$ $x(t,v)=x_{0}+tv$ $v$

Alegerea spațiului de variație și construcția variațiilor în sine este elementul cel mai important pentru obținerea condițiilor extremum necesare.

Vezi și

Note

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines (franceză) . Torino, 1762.
↑ Bliss G. A. Prelegeri despre calculul variațiilor. - per. din engleza. - M., 1950.
↑ Pontryagin L. S. Teoria matematică a proceselor optime. - Ed. a II-a. - M., 1969.