Cantitatea este un concept matematic care descrie obiecte pentru care relația de inegalitate și semnificația operației de adunare pot fi definite și sunt îndeplinite un număr de proprietăți, inclusiv axiomele lui Arhimede și continuitatea . Cantitatea este unul dintre conceptele de bază ale matematicii .
Inițial, un scalar pozitiv a fost definit cu o relație de inegalitate și o operație de adunare. Printre generalizările sale se numără vectorii și tensorii , pentru care relația de inegalitate nu poate fi definită, mărimi „non-Arhimede”, pentru care axioma lui Arhimede nu este valabilă. Sistemul numerelor reale poate fi considerat și ca un sistem de mărimi.
Pentru mărimile scalare omogene se stabilește relația de inegalitate și sensul operației de adunare. Au următoarele proprietăți [1] :
O cantitate este un concept abstract care exprimă categoria de cantitate . O valoare scalară este caracterizată de un număr [2] .
Odată cu dezvoltarea matematicii, sensul conceptului de mărime a fost supus generalizărilor. Conceptul a fost extins la mărimi „non-scalare”, pentru care se definește adunarea, dar nu este definită nicio relație de ordine . Acestea includ vectori și tensori. Următoarea extensie a fost respingerea axiomei lui Arhimede sau utilizarea acesteia cu unele rezerve (de exemplu, naturalețea numărului n pentru mărimi scalare pozitive). Astfel de mărimi sunt folosite în cercetările matematice abstracte [1] .
În plus, sunt utilizate valori fixe și variabile. Când se iau în considerare variabile, se obișnuiește să se spună că în momente diferite ele iau valori numerice diferite [1] .
Euclid (sec. III î.Hr.) a introdus conceptul de valoare scalară pozitivă , care era o generalizare directă a unor concepte specifice precum lungimea , suprafața , volumul , masa [1] . În cartea a cincea a „ Începuturilor ” sunt formulate principalele proprietăți ale unei cantități (poate aparține condeiului lui Eudox ), în cartea a șaptea sunt luate în considerare numerele și este dată definiția cantității, în cartea a zecea comensurabilă și se consideră cantități incomensurabile [3] . Matematicienii greci antici au dezvoltat o teorie de măsurare a cantităților bazată pe primele nouă proprietăți ale unei mărimi (inclusiv axioma lui Arhimede) [1] .
Genul unei cantități este legat de modul în care sunt comparate obiectele. De exemplu, conceptul de lungime rezultă din compararea segmentelor prin suprapunere: segmentele au aceeași lungime dacă coincid atunci când sunt suprapuse, iar lungimea unui segment este mai mică decât lungimea celuilalt dacă, atunci când sunt suprapuse, primul segment nu nu acoperă complet pe al doilea. Compararea cifrelor plate duce la conceptul de zonă, corpuri spațiale - volum [1] . Euclid și-a ilustrat considerațiile cu operații cu segmente, dar în același timp consideră cantitățile ca concepte abstracte. Teoria lui se aplică unghiurilor și timpului [3] .
Matematicienii greci au considerat cantități care puteau fi măsurate cu o riglă cu unitatea de lungime și o busolă [3] . Sistemul tuturor lungimii într-o relație rațională cu lungimea unității satisface cerințele 1-9, dar nu acoperă sistemul tuturor lungimii în general. Descoperirea existenței segmentelor incomensurabile este atribuită lui Pitagora (sec. VI î.Hr.) [1] . Matematicienii arabi au considerat cantități mai complexe, în special, au rezolvat ecuații cubice folosind metode geometrice [3] . Pentru o definiție completă a unui sistem de mărimi scalare pozitive a fost introdusă axioma continuității. Ca urmare, toate valorile sistemului sunt reprezentate în mod unic ca a = α l , unde α este un număr real pozitiv, iar l este o unitate de măsură [1] .
Următoarea etapă a fost luarea în considerare a segmentelor direcționate pe o linie dreaptă și a vitezelor direcționate opus. Dacă la sistemul de mărimi scalare pozitive se adaugă valori zero și negative, atunci generalizarea rezultată, numită mărime scalară, este cea principală în mecanică și fizică. În această generalizare, este orice număr real (pozitiv, negativ sau egal cu zero). Această generalizare recurge la conceptul de număr, dar același lucru se poate realiza prin modificarea formulării proprietăților [1] .
Descartes a introdus conceptul de variabilă [2] .
În secolul al XVII-lea, numerele reale erau strâns asociate cu conceptul de mărime, iar matematica era considerată știința mărimilor [4] .