Algebră externă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 septembrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Algebra externă , sau algebra Grassmann , este o algebră asociativă utilizată în geometrie în construirea teoriei integrării în spații multidimensionale. Introdus pentru prima dată de Grassmann în 1844.

Algebra exterioară asupra spațiului este de obicei notă cu . Cel mai important exemplu este algebra formelor diferențiale pe o varietate dată. $V$ $\bigwedge V$

Definiție și concepte aferente

Algebra exterioară a unui spațiu vectorial peste un câmp este algebra coeficientului asociativ al unei algebre tensorice printr -un ideal cu două fețe generat de elemente de forma : $\bigwedge V$ $V$ $K$ $T(V)$ $eu$ $x\otimes x,x\in V$

{\textstyle \bigwedge}V=T(V)/I

Dacă caracteristica câmpului este , atunci idealul este exact același cu idealul generat de elementele formei . $\operatorname {char} (K)\neq 2$ $eu$ $x\otimes y+y\otimes x$

Înmulțirea ∧ într-o astfel de algebră se numește produsul exterior . Prin construcție, este anticomutativ:

x\wedge y=-(y\wedge x).

K - puterea exterioară a spațiului se numește spațiu vectorial generat de elementele formei $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots,k,

în plus , şi = { 0 } pentru k > n . $\dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

Dacă și { e 1 , …, e n } este o bază , atunci baza este mulțimea $\dim V=n$ $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

\{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2, \cdots ,n~~{\text{ și }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}.

Apoi

{\textstyle \bigwedge}(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^ {2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),

și este ușor de observat că algebra exterioară are în mod natural o notare : dacă și , atunci $\alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)$ $\beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)$

\alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in \bigwedge \nolimits ^{k+p}\left(V\right).

Proprietăți

Elementele spațiului se numesc r -vectori. În cazul în care caracteristica câmpului principal este egală cu 0, aceștia pot fi înțeleși și ca r simetrici asimetrici ori tensori contravarianți peste cu operația produsului tensor antisimetric (alternant) , adică produsul exterior a doi antisimetrici. tensorii este compoziția antisimetrizării complete (alternarea) asupra tuturor indicilor cu produsul tensor . $\bigwedge \nolimits ^{r}V$ $V,$
- În special, produsul exterior a doi vectori poate fi înțeles ca următorul tensor: $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.$
- Notă: Nu există un standard unic pentru ceea ce înseamnă „anti-simetrizare”. De exemplu, mulți autori preferă formula $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.$
Pătratul exterior al unui vector arbitrar este zero: $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V$

\omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.

Pentru vectorii r cu r par , acest lucru nu este adevărat. De exemplu

(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.

Sistemele liniar independente de vectori și din generează același subspațiu dacă și numai dacă vectorii și sunt proporționali. $r$ $x_{1},\dots ,x_{r}$ $y_{1},\puncte, y_{r}$ $V$ $r$ $x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}$ $y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}$

Link -uri

Vinberg E. B. Curs de algebră. - M . : Factorial Press, 2002. - ISBN 5-88688-060-7
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie, - M. : Fizmatlit, 2009.
Schutz B. Metode geometrice ale fizicii matematice. — M .: Mir, 1984.
Efimov NV Introducere în teoria formelor exterioare. — M .: Nauka , 1977.

Algebră externă

Definiție și concepte aferente

Proprietăți

Link -uri

Vezi și