Algebră tensorială

Algebra tensorială a unui spațiu liniar (notat ) este algebra tensorilor de orice rang peste cu operația de multiplicare a tensoriilor. $V$ $T(V)$ $V$

Denumită și algebră tensorială este secțiunea corespunzătoare a algebrei liniare (adică secțiunea care se ocupă de tensori definiți într-un singur spațiu liniar, spre deosebire de analiza tensorială , care se ocupă de câmpurile tensorale definite pe pachetul tangent al unei varietăți și relații diferențiale pentru acestea. câmpuri).

Definiție

Fie V un spațiu vectorial peste un câmp K . Pentru orice număr natural k , definim puterea tensorală k a lui V ca produsul tensor al lui V și el însuși de k ori:

T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V

Astfel, T k V constă din toți tensorii peste V de rang k . Presupunem că T 0 V este câmpul de bază K (un spațiu vectorial unidimensional deasupra lui).

Definiți T ( V ) ca suma directă a lui T k V pentru toți k = 0,1,2,...

T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V )\oplus \cdots

Înmulțirea în T ( V ) este definită de izomorfismul canonic dat de produsul tensor :

T^{k}V\otimes T^{\ell }V\la T^{k+\ell }V

care continuă apoi în liniaritate până la întregul T ( V ). O astfel de multiplicare transformă algebra tensorală T ( V ) într-o algebră gradată .

Proprietate universală și funcționalitate

Algebra tensorală T ( V ) este algebra liberă a spațiului vectorial V . Ca și în cazul oricărei alte construcții libere , T este functorul adjunct stâng al functorului uitător (care în acest caz trimite algebra K în spațiul său vectorial). O algebră tensorală satisface următoarea proprietate universală , care formalizează afirmația că este cea mai generală algebră care conține spațiul V :

Orice mapare liniară dintr-un spațiu V peste un câmp K într-o algebră A peste K poate fi extinsă în mod unic la un homomorfism de algebră . Această afirmație este exprimată prin diagrama comutativă :

f:V\la A

{\bar {f}}:T(V)\la A

unde i este încorporarea canonică a lui V în T ( V ). O algebră tensorală poate fi definită ca singura (până la un izomorfism ) algebră care are această proprietate, deși este încă necesar să se arate în mod explicit că o astfel de algebră există.

Proprietatea universală de mai sus arată că o algebră tensorală este functorială , adică T este un functor din categoria K -Vect al spațiilor vectoriale peste K la categoria K -Alg K -algebre. Faptul că T este functorial înseamnă că orice mapare liniară de la V la W poate fi extinsă în mod unic la un homomorfism din algebra T(V) la T(W).

Polinoame necomutative

Dacă dimensiunea lui V este finită și egală cu n , atunci algebra tensorială poate fi privită ca o algebră polinomială peste K cu n variabile necomutative. Vectorii de bază V corespund variabilelor necomutative, iar înmulțirea lor va fi asociativă, distributivă și K - liniară.

Rețineți că algebra polinomială peste V nu este , ci : o funcție liniară omogenă pe V este un element al spațiului dual . $T(V)$ $T(V^{*})$ $V^*$

Factor algebre

Datorită generalității algebrei tensoriale, multe alte algebre importante ale spațiului V pot fi obținute prin impunerea unor restricții asupra generatorilor algebrei tensoriale, adică prin construirea unei algebre factoriale din T ( V ). De exemplu, algebra exterioară , algebra simetrică și algebra Clifford pot fi construite în acest fel .

Variații și generalizări

Construcția unei algebre tensoriale peste un spațiu liniar se generalizează în mod natural la o algebre tensorale peste un modul M peste un inel comutativ . Dacă R este un inel necomutativ , se poate construi un produs tensor pentru orice R - bimodule peste M. Pentru modulele R obișnuite , se dovedește a fi imposibil să se construiască un produs tensor multiplu.

Link -uri

Vinberg E. B. Curs de algebră - M . : Editura Presa Factorială - 2002, ISBN 5-88688-060-7