Operator compact

Un operator compact este un concept de analiză funcțională. Operatorii compacti apar în mod natural în studiul ecuațiilor integrale, iar proprietățile lor sunt similare cu cele ale operatorilor din spații cu dimensiuni finite. Operatorii compacti sunt adesea denumiți complet continui .

Definiție

Fie spații Banach . Se spune că un operator liniar este compact dacă mapează orice submulțime mărginită într-o submulțime precompact în . $X Y$ $T:X\la Y$ $X$ $Y$

Există o definiție echivalentă folosind noțiunea de topologie slabă : se spune că un operator liniar este compact dacă restricția sa la bilă unitate în este o hartă continuă în raport cu topologia slabă în și topologia normă în . Evident, proprietatea de compactitate este mai puternică decât mărginirea. $T:X\la Y$ $X$ $X$ $Y$

Mulțimea operatorilor compacti se notează cu . Este o submulțime în spațiul operatorilor mărginiți care acționează de la până la . $T:X\la Y$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X$ $Y$

Cele mai simple proprietăți

Fiecare operator complet continuu este mărginit, dar nu orice operator mărginit este complet continuu [1] .
O combinație liniară de operatori complet continui de forma , unde sunt numere, este de asemenea un operator complet continuu [2] . $A,B$ $\alpha A+\beta B$ $\alpha ,\beta$
Fie un operator complet continuu care mapează un spațiu Banach cu dimensiuni infinite în sine și fie un operator liniar mărginit arbitrar definit pe același spațiu. Atunci și sunt operatori complet continui [2] . $A$ $B$ $AB$ $BA$
Dacă o secvență de operatori complet continui care mapează un spațiu într-un spațiu complet converge uniform către un operator (adică ), atunci este, de asemenea, un operator complet continuu. [2] [3] $\stanga\{A_{n}\dreapta\)$ $E_{x)$ $E_{y)$ $A$ $\left\|A-A_{n}\right\|\la 0$ $A$
Dacă un operator este compact, atunci adjunctul său este și el compact.

Exemple

Cele mai semnificative exemple de operatori compacti sunt oferite de teoria ecuațiilor integrale:

Să luăm o funcție arbitrară . Atunci operatorul integral definit după cum urmează este compact: $g\in L_{2}([0,1]\times [0,1])$ $T:L_{2}(0,1)\la L_{2}(0,1)$

(Tf)(t)=\int \limits _{0}^{1}g(s,t)f(s)\,ds

Fie ca funcția g on să aibă puncte de discontinuitate numai pe un număr finit de curbe. Atunci operatorul , definit exact în același mod ca operatorul din exemplul anterior, este deja compact în spațiul funcțiilor continue. $[0,1]\times [0,1]$ $T:C(0,1)\la C(0,1)$

Un operator diagonal care corespunde unei secvențe și care acționează conform regulii este mărginit dacă și numai dacă șirul este mărginit, iar compactitatea este echivalentă cu convergența șirului la zero. $T_{\lambda}:l_{2}\to l_{2)$ $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ $x=(x_{1},x_{2},\dots )\to (\lambda _{1}x_{1},\lambda _{2}x_{2},\dots )$ $\lambda$ $\lambda$

Un operator inversabil este compact dacă și numai dacă are dimensiuni finite. $A:X\la Y$ $X Y$

Operatori cu dimensiuni finite

Evident, orice operator liniar mărginit cu o imagine cu dimensiune finită este compact (acești operatori sunt numiți -dimensional finit ). Pentru un operator compact , unde este un spațiu Hilbert, există întotdeauna o secvență de operatori de dimensiune finită care converge către în normă. Cu toate acestea, acest lucru nu este valabil pentru spațiul arbitrar . Se spune că un spațiu Banach are proprietatea de aproximare dacă, pentru orice spațiu Banach, orice operator compact poate fi aproximat prin operatori cu dimensiuni finite. Există spații Banach separabile care nu au proprietatea de aproximare. $T:X\la Y$ $Y$ $T$ $Y$ $Y$ $X$ $T:X\la Y$

Proprietățile spațiului operatorilor compacti

Din proprietățile de bază ale operatorilor compacti rezultă imediat că este un subspațiu în . Cu toate acestea, se poate demonstra că acest subspațiu este închis. În cazul în care , spațiul operatorilor capătă structura unei algebre (înmulțirea este dată de compoziția operatorilor). Atunci este un ideal cu două fețe închis în . ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X=Y$ ${\mathcal {K}}(X,X)$ ${\mathcal {L}}(X)$

Proprietatea de aproximare pentru un spațiu poate fi formulată astfel: pentru orice spațiu Banach , spațiul este închiderea spațiului operatorilor de dimensiuni finite de la la . $Y$ $X$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ $X$ $Y$

Proprietățile spectrale ale operatorilor compacti

Să fie un operator compact. Atunci operatorul este un operator Noetherian de indice 0 (Fredholm). În special, avem alternativa Fredholm pentru : este surjectivă dacă și numai dacă este injectivă (alternativa este ca fie nucleul să nu fie gol, fie imaginea să coincidă cu întregul spațiu). În consecință, obținem imediat că întregul spectru diferit de zero al unui operator compact este discret (spectrele reziduale și continue pot conține doar zero). Zero aparține întotdeauna spectrului operatorului în cazul infinit-dimensional (altfel operatorul inversabil ar fi compact) și poate să nu fie o valoare proprie pentru operator . $T:X\la X$ $K=IT$ $K$ $T$ $T$

În cazul în care operatorul este autoadjunct (aici Hilbert), avem suplimentar teorema Hilbert - Schmidt : există un sistem ortonormal finit sau numărabil de vectori și o secvență de numere reale diferite de zero (de aceeași cardinalitate ca și sistem de vectori) , astfel încât operatorul acționează conform regulii . Această teoremă este o generalizare naturală a unei teoreme similare pentru operatori autoadjuncți într-un spațiu finit-dimensional. Astfel, clasa operatorilor compacti, din punct de vedere al proprietăților spectrale, este similară cu operatorii dintr-un spațiu finit-dimensional. $T$ $X$ $e_{1},e_{2},\dots$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$ $T$ $T(x)=\sum\limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n)$

Clase de operatori compacti

Fie un operator compact și să fie spații Hilbert. Apoi există o pereche de secvențe ortonormale finite sau numărabile cu aceeași cardinalitate în și în și o secvență necrescătoare de numere reale pozitive (de aceeași cardinalitate) care converge către zero dacă este infinit, astfel încât operatorul acționează conform regulii . Acest fapt este cunoscut sub numele de teorema Schmidt (este foarte asemănătoare în formulare cu teorema Hilbert-Schmidt și, de fapt, teorema Schmidt, cu mici modificări pentru un operator auto-adjunct, servește drept demonstrație pentru Hilbert-Schmidt teorema). Este ușor de arătat că numerele , care sunt numite numere Schmidt, sunt determinate în mod unic de către operator. $T:X\la Y$ $X Y$ $e_{1},e_{2},\dots$ $X$ $f_{1},f_{2},\dots$ $Y$ $s_{1},s_{2},\dots$ $T$ $T(x)=\sum \limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n)$ $s_{1},s_{2},\dots$

Dacă converge pentru un operator , atunci operatorul se numește operator Hilbert - Schmidt . Norma este introdusă de relația , și este generată de produsul scalar. Dacă converge , atunci operatorul este numit operator nuclear sau operator cu urmă . Pe spațiul operatorilor nucleari, norma este introdusă de relația . $T$ $\sum \limits _{n}s_{n}^{2)$ $\|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\ }s_{n}^{2)))$ $\sum \limits _{n}s_{n)$ $\|T\|=\sum \limits _{n}s_{n}$

Note

↑ Krasnov, 1975 , p. 178.
↑ 1 2 3 Krasnov, 1975 , p. 179.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, Nauka, 1965

Literatură

A. Da. Helemsky. Prelegeri despre analiza funcțională. - MTSNMO, 2014. - 552 p. - 2000 de exemplare. — ISBN 5-94057-065-8 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - ed. al patrulea, revizuit. — M .: Nauka , 1976 . — 544 p. - 35.000 de exemplare.
Krasnov M. L. Ecuații integrale. — M .: Nauka, 1975. — 304 p.