Teorema Hilbert-Schmidt

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 8 octombrie 2016; verificarea necesită 1 editare .

Teorema Hilbert - Schmidt extinde la operatori simetrici complet continui într-un spațiu Hilbert faptul binecunoscut despre reducerea matricei unui operator auto-adjunct într-un spațiu euclidian finit- dimensional la o formă diagonală într-o bază ortonormală .

Enunțul teoremei

Pentru orice operator simetric complet continuu într-un spațiu Hilbert , există un sistem ortonormal de elemente proprii care corespund valorilor proprii ale operatorului astfel încât pentru oricare să existe o reprezentare $A$ $H$ $\{x_i\}$ $\{\lambda_n\}$ $A$ $x\în H$

x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\operatorname{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k,

în plus, însumarea poate fi fie o serie finită, fie o serie infinită, în funcție de numărul de elemente proprii ale operatorului . Dacă există un număr infinit de ele, atunci . $A$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$

Teorema Hilbert-Schmidt pentru operatori integrali

Teorema Hilbert-Schmidt poate fi folosită pentru a rezolva o ecuație integrală neomogenă cu un nucleu hermitian continuu (și, de asemenea, slab polar) .

Pentru operatorul integral , teorema este reformulată după cum urmează: dacă o funcție este reprezentabilă la nivel de sursă în termenii unui nucleu continuu hermitian (adică , astfel încât ), atunci seria sa Fourier în termeni de funcții proprii ale nucleului converge absolut și uniform către aceasta functie: $(Kg)(x)=\int\limits_G\!K(x,y)g(y)\,dy$ $f(x)$ $K(x,y)$ $\există g(x)\în L^2(G)$ $f(x)=(Kg)(x)$ $K(x,y)$ $G$

f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k }\varphi_k(x),

unde și sunt funcțiile proprii ale nucleului corespunzătoare valorilor proprii . $\varphi_k$ $\lambda_k$

Literatură

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - Ed. a VII-a - M . : FIZMATLIT, 2004. - S. 263-266. — 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Vezi și

operator Hilbert-Schmidt

Contribuția lui David Hilbert la știință
spatii	Spațiul Hilbert Spațiul pre-Hilbert Cărămidă Gilbert
axiomatica	axiomatica lui Hilbert
Teoreme	Teorema lui Hilbert 90 Teorema de bază a lui Hilbert Teorema nulă a lui Hilbert Teorema Hilbert-Schmidt
Operatori	Transformarea Hilbert operator Hilbert-Schmidt
Relativitatea generală	Ecuații Einstein-Hilbert „ Hilbert și ecuațiile câmpului gravitațional ”
Alte	Probleme Hilbert curba Hilbert matricea Hilbert Problema Hilbert-Arnold Seria Hilbert și polinomul Hilbert Paradoxul „Grand Hotel”