Transformări galileene

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 octombrie 2021; verificările necesită 6 modificări .

Transformări galileene - în mecanica clasică ( mecanica newtoniană ) și mecanica cuantică non-relativista : transformări de coordonate și viteză în timpul trecerii de la un cadru de referință inerțial (ISR) la altul [1] . Termenul a fost propus de Philipp Frank în 1909 [2] . Transformările lui Galileo se bazează pe principiul relativității lui Galileo , care implică același timp în toate sistemele de referință („timp absolut” [3] ).

Transformările galileene sunt un caz limitativ (special) al transformărilor Lorentz pentru viteze care sunt mici în comparație cu viteza luminii în vid și într-un volum limitat de spațiu. Pentru viteze de până la ordinul vitezelor planetelor din sistemul solar (și chiar mai mari), transformările lui Galileo sunt aproximativ corecte cu o precizie foarte mare.

Cerința (postulatul) principiului relativității, împreună cu transformările lui Galileo, care par destul de evidente intuitiv, pot fi considerate ca determină în mare măsură structura mecanicii newtoniene. Alături de idei suplimentare precum simetria spațiului și principiul suprapunerii într-o formă sau alta (afirmând echivalența interacțiunii multor corpuri într-un interval scurt de timp a compoziției interacțiunilor imaginare succesive în perechi ale acestor corpuri), transformările lui Galileo. poate constitui practic o bază suficientă pentru formularea mecanicii newtoniene (concluzia legilor sale fundamentale).

Tipul transformărilor pentru axele coliniare [4]

Dacă IFR S' se mișcă în raport cu IFR S cu o viteză constantă de -a lungul axei și originile coincid la momentul inițial în ambele sisteme, atunci transformările Galileo au forma: $tu\$ $X\$

x=x'+ut,\

{y}=y',\

{z}=z',\

t=t'\

sau, folosind notația vectorială,

{\vec {r}}={\vec {r}}'+{\vec {u}}t,\

t=t'\

(ultima formulă rămâne valabilă pentru orice direcție a axelor de coordonate).

După cum puteți vedea, acestea sunt doar formule pentru deplasarea originii, care depinde liniar de timp (care se presupune că este același pentru toate sistemele de referință).

Din aceste transformări rezultă relația dintre vitezele punctului și accelerațiile sale în ambele cadre de referință:

{\vec {v}}={\vec {v'}}+{\vec {u}},

{\vec {a}}={\vec {a'}}

Transformările galileene sunt cazul limitativ (special) al transformărilor Lorentz pentru viteze mici (mult mai mici decât viteza luminii). $voi c$

grupul lui Galileo

Grupul Galileian este un set de transformări ale clasei cadrelor de referință inerțiale în sine, combinate cu translații temporale. [5] Principalele transformări ale grupului galilean sunt și grupuri:

Translații de timp corespunzătoare unei modificări a originii referinței de timp: $P_{0}:t\rightarrow t'=t+\tau ,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x}$
Translațiile spațiului corespunzătoare unei modificări a originii coordonatelor: $P_{3}:t\rightarrow t'=t,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\mathbf {a}$
Transformări galileene , conectând sisteme de referință care se deplasează cu viteză relativă : $\mathbf{v}$ $K:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=-v_{k}t+x_{k)$
Rotaţia axelor carteziene : . Ele formează un grup ortogonal special de spațiu tridimensional . $R:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=R_{kl}x_{l)$ $SO(3)$

aici - timpul, - coordonatele în spațiul euclidian , - viteza relativă a cadrelor de referință, - matricea ortogonală . $t$ $\mathbf {x}$ $R^{3}$ $\mathbf{v}$ $R$

generatoare de grup Galileian

Să notăm ca generatori ai grupului de rotații, - generatorii translațiilor spațiu-timp, - generatorii transformărilor Galileo, simbolul - comutatorul algebrei Lie . Generatoarele grupului Galileian sunt conectate prin următoarele relații de comutație: [6] $l_{k)$ $P_{\mu},\mu =0,1,2,3$ $K_{i},i=1,2,3$ $[...,...]$

[l_{k},l_{m}]=\varepsilon _{kmn}l_{n)

[l_{k},P_{m}]=\varepsilon _{kmn}P_{n)

[l_{k},K_{m}]=\varepsilon _{kmn}K_{n)

[l_{k},P_{0}]=[P_{\mu},P_{\nu }]=[K_{m},K_{n}]=[P_{m},K_{n }]=0

{\displaystyle [P_{0},K_{m}]=P_{m))

aici: , - constantele structurale ale algebrei - matrice. $k,m,n=1,2,3;\mu ,\nu =0,1,2,3$ $\varepsilon _{kmn}$ $\sigma$

Formula de conversie a vitezei

Este suficient să diferențiem în formula transformărilor lui Galileo dată mai sus și imediat se va obține formula de transformare a vitezei dată în același paragraf alăturat acesteia. ${\vec {r))$

Să dăm o concluzie mai elementară, dar și mai generală - pentru cazul unei mișcări arbitrare a punctului de referință al unui sistem față de altul (în absența rotației). Pentru un astfel de caz mai general, puteți obține formula de conversie a vitezei, de exemplu, astfel.

Luați în considerare transformarea unei deplasări arbitrare a originii în vector , ${\vec r}_{o}$

unde raza-vector al unui corp A din cadrul de referință K va fi notat ca , iar în cadrul de referință K' - ca , ${\vec {r))$ ${\vec {r'))$

implicând, ca întotdeauna în mecanica clasică, că timpul în ambele cadre de referință este același, iar toți vectorii cu rază depind de acest timp: . $t$ ${\vec r}_{o}={\vec r}_{o}(t),{\vec r}={\vec r}(t),{\vec {r'))={\vec {r'}}(t)$

Apoi oricând

{\vec r}={\vec r}_{o}+{\vec {r'))

şi în special, având în vedere

\Delta {\vec r}={\vec r}(t+\Delta t)-{\vec r}(t),~\Delta {\vec r}_{o}={\vec r}_{o }(t+\Delta t)-{\vec r}_{o}(t),~\Delta {\vec {r'}}={\vec {r'}}(t+\Delta t)-{\ vec{r'}}(t)

avem:

{\begin{matrice}{\vec r}(t)={\vec r}_{o}(t)+{\vec {r'}}(t)\\{\vec r}(t+\Delta t)={\vec r}_{o}(t+\Delta t)+{\vec {r'}}(t+\Delta t)\end{matrix}}({\Bigg \}}}\quad \ Săgeată la dreapta \quad \Delta {\vec r}=\Delta {\vec r}_{o}+\Delta {\vec {r'))\quad \Rightarrow \quad {\frac {\Delta {\vec r} }{\Delta t))={\frac {\Delta {\vec r}_{o)){\Delta t))+{\frac {\Delta {\vec {r')}}{\Delta t }}

$\Rightarrow \quad \langle {\vec {V}}\rangle =\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle {\vec {V'}}\rangle$

Unde:

\langle {\vec {V}}\rangle

este viteza medie a corpului A în raport cu sistemul K ;

\langle {\vec {V)}'\rangle

- viteza medie a corpului A în raport cu sistemul K' ;

\langle {\vec {V}}_{o}\rangle

este viteza medie a sistemului K' în raport cu sistemul K .

Dacă atunci vitezele medii coincid cu viteza instantanee : $\Delta t\rightarrow 0$

{\vec {V}}\;=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\;{\Bigg (}\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle { \vec {V'}}\rangle {\Bigg )}={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}

sau mai scurt

{\vec V}\;={\vec V}_{o}+{\vec {V'}}

- pentru viteze medii și instantanee (formula de adăugare a vitezei).

Astfel , viteza unui corp în raport cu un sistem de coordonate fix este egală cu suma vectorială a vitezei unui corp în raport cu un sistem de coordonate în mișcare și cu viteza sistemului de referință în raport cu un sistem de referință fix.

(În mod similar, se poate obține o formulă pentru transformarea accelerațiilor la trecerea de la un sistem de coordonate la altul, care este corectă, cu condiția ca mișcarea sistemelor unul față de celălalt să fie uniform accelerată și translațională:) . ${\vec a}={\vec {a'}}+{\vec {a_{o}}}$

Transformări galileene în mecanica cuantică nonrelativista

Ecuația Schrödinger în mecanica cuantică non-relatistă este invariantă sub transformările galileene. Din acest fapt decurg o serie de consecințe importante: existența unui număr de operatori de mecanică cuantică asociați cu transformările galileene ( grupul Schrödinger ), imposibilitatea descrierii stărilor cu spectru de masă sau particule elementare instabile în mecanica cuantică nerelativista ( teorema lui Bargmann ), existența invarianților mecanici cuantici generați de transformările galileene [7] .

Note

↑ Fiind pur cinematice, transformările lui Galileo sunt aplicabile și cadrelor de referință neinerțiale - dar numai sub condiția mișcării lor de translație rectilinie uniforme unele față de altele - ceea ce le limitează importanța în astfel de cazuri. Împreună cu rolul privilegiat al cadrelor de referință inerțiale, acest fapt duce la faptul că în marea majoritate a cazurilor transformările lui Galileo sunt discutate tocmai în legătură cu acestea din urmă.
↑ Frank P./Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien.—1909.—Ila, Bd 118.—S. 373 (în special p. 382).
↑ Din timpul absolut, fizica, în general, a trebuit să fie abandonată la începutul secolului al XX-lea - pentru a păstra principiul relativității în formularea sa puternică, ceea ce presupune cerința ca toate ecuațiile fundamentale ale fizicii să fie scrise identic în orice (inerțial; iar mai târziu, principiul relativității a fost extins la sistemul de referință non-inerțial).
↑ De interes fundamental din punct de vedere al fizicii este doar cazul când axele de coordonate (dacă se folosește deloc reprezentarea în coordonate; această problemă poate fi considerată irelevantă pentru forma vectorială simbolică a scrierii) sistemelor inerțiale între care transformarea se realizează sunt direcționate în același mod. În principiu, ele pot fi dirijate în moduri diferite, dar transformările de acest fel prezintă doar interes tehnic din punct de vedere fizic, întrucât se reduc la alcătuirea unei transformări cu axe codirecționale, luate în considerare în acest articol, și un rotirea (independentă de timp) a axelor de coordonate, reprezentând o problemă pur geometrică, în plus, în principiu, simplă. Rotirea axelor, care depinde de timp, ar însemna rotirea sistemelor de coordonate unul față de celălalt, iar cel puțin unul dintre ele nu ar putea fi atunci inerțial.
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Grupuri de simetrie și particule elementare. - L., Universitatea de Stat din Leningrad , 1983. - p. unsprezece
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Grupuri de simetrie și particule elementare. - L., Universitatea de Stat din Leningrad , 1983. - p. optsprezece
↑ Kaempfer, 1967 , p. 390.

Literatură

Kaempfer F. Fundamentele mecanicii cuantice. — M .: Mir, 1967. — 391 p.

Vezi și

Galileo Galilei
Biografie și realizări științifice	Procesul Galileian • Escape de ceas galilean • Sateliți galileeni • Transformări galileene • Investigarea corpurilor în cădere • Termoscop • Celatone • Paradoxul Galileian
Proceduri	Testator • Dialog asupra celor două sisteme principale ale lumii • Sidereus Nuncius • Convorbiri și dovezi matematice a două noi științe
O familie	Vincenzo Galilei (tată) • Michelangelo Galilei (frate) • Vincenzo Gamba (fiu) • Maria Celesta (fiică) • Marina Gamba (soție de drept comun)