Generator de grup

Generatorul de grup ( operator infinitezimal ) este un concept folosit în teoria grupurilor Lie . Generatorii unui grup sunt elementele care formează baza algebrei lui Lie sau, în cazul general, baza algebrei Lie a imaginii unui grup . $G$ $G$

Generatorul este derivata reprezentării operatorului (sau matricei) a unui element de grup în raport cu un parametru de reprezentare cu valoare zero a tuturor parametrilor (se presupune, fără pierderi de generalitate, că cu valori zero ale parametrilor, operatorul care reprezintă elementul dat este egal cu operatorul de identitate și corespunde elementului de identitate al grupului). Reprezentarea unui element de grup arbitrar suficient de apropiat de elementul de identitate este exprimată în mod liniar în ceea ce privește generatoarele de grup (generatorii sunt termeni de ordinul întâi în extinderea operatorului de reprezentare într-o serie de puteri în termeni de parametri). Mai mult decât atât, în anumite ipoteze slabe, orice element al grupului (reprezentarea acestuia) poate fi exprimat în termeni de generatori, deoarece termenii de ordinul doi și superior sunt din nou exprimați în termeni de generatori. Pentru o anumită clasă de grupuri Lie conectate, orice element al grupului poate fi reprezentat folosind o mapare exponențială sub forma . În special, o astfel de reprezentare este valabilă pentru grupurile comutative pur și simplu conectate: proprietățile grupului în acest caz rezultă în mod evident din identitatea pentru operatorii de navetă și . Dacă generatoarele nu fac naveta, atunci reprezentarea exponențială pentru elementele grupului, în general, este valabilă doar local într-o vecinătate suficient de mică a identității grupului, chiar dacă grupul este conectat. $\exp(A_{1}\alpha _{1}+\cdots +A_{n}\alpha _{n})$ $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ $A$ $B$

Definiția conceptului

Fie ca un element arbitrar al grupului să aibă o reprezentare -parametrică (funcția de operator a parametrilor, operatorii acționează asupra unui spațiu vectorial), iar elementul de identitate al grupului corespunde valorii funcției operator la valorile zero ale parametrilor . Atunci generatorii grupului sunt cantitățile: $G$ $s$ $g(\alpha )=g(\alpha _{1},\dots,\alpha _{s})$ $s$ $g(0)$

A_{k}=\left.{\frac {\partial g(\alpha _{1},\dots,\alpha _{s})}{\partial \alpha _{k))}\right \vert _{\alpha =\,0}

Apoi, un element arbitrar din vecinătatea luată în considerare (unde parametrii sunt în mod natural mici) poate fi extins în apropierea transformării identității până la termeni de ordinul doi de micime: $g(\alpha _{1},\dots,\alpha _{s})$ $\alpha _{k}$

g(\alpha _{1},\dots,\alpha _{s})=1+\sum _{k=1}^{s}A_{k}\alpha _{k}+O( \sum _{k,\,j=1}^{s}\alpha _{k}\alpha _{j}),

Lie Algebra. Cartografiere exponențială

Fie grupul un grup Lie conectat - un grup de transformări care depind de un set finit de parametri, astfel încât orice element al grupului poate fi conectat la elementul de identitate printr-o cale care se află în întregime în cadrul acestui grup. Să notăm generatorii grupului. Apoi se poate demonstra că generează o algebră Lie cu relația de comutație: $T(\alpha )$ $t_{a}$

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

unde sunt așa-numitele constante de structură ale algebrei Lie (numite și „constante structurale ale grupului”). $C_{{bc}}^{a}$

Dovada

Legea înmulțirii grupului are forma:

T(\alpha )T(\beta )=T(f(\alpha ,\beta ))

unde este o funcție. Deoarece vectorul parametrului zero este luat drept „coordonatele” elementului de identitate, această funcție trebuie să aibă proprietățile . În plus, această funcție poate fi extinsă într-o serie de puteri: $f$ $f^{a}(\alpha ,0)=f^{a}(0,\alpha )=\alpha ^{a}$

f^{a}(\alpha ,\beta )=\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta ^{c} +\puncte

în plus, termenii proporționali cu pătratele parametrilor ar încălca proprietatea de mai sus a acestei funcții, deci sunt absenți în expansiune.

Să fie dată reprezentarea grupului . Poate fi extins într-o zonă de zero în ceea ce privește parametrii sub forma următoarelor serii (adăugăm o unitate imaginară pentru abordarea utilizată în fizică): $U(T(\alpha ))$

U(T(\alpha ))=1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+\dots

unde sunt operatorii independenti de parametri . $t_{a},t_{{bc}}$ $\alfa$

Dacă reprezentarea este unitară, operatorii (generatorii grupului) sunt hermitieni. Se presupune că reprezentarea este neproiectivă, adică obișnuită și, prin urmare, putem scrie: $U$ $t_{a}$

U(T(\alpha ))U(T(\beta ))=U(T(f(\alpha ,\beta ))

Partea stângă a acestui raport este:

(1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+puncte)*(1+i\beta ^{a }t_{a}+1/2\beta ^{b}\beta _{c}t_{bc}+...)=1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a})t_ {a}-\alpha ^{b}\beta _{c}t_{b}t_{c}+\dots

Partea dreaptă poate fi reprezentată după cum urmează (folosind descompunerea reprezentării și descompunerea funcției f):

1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta _{c}+puncte)t_{a}+1 /2(\alpha ^{b}+\beta ^{b}+...)(\alpha ^{c}+\beta ^{c}+...)t_{bc}+...=1 +i(\alpha ^{a}+\beta ^{a})t_{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta _{c}t_{a}+\alpha ^ {b}\beta _{c}t_{bc}+...

unde termenii neamestecati de ordinul doi sunt omisi datorita coincidentei lor evidente cu partea stanga. Evident, și termenii de prim ordin coincid. Relațiile pentru termeni mixți de ordinul doi se dovedesc a fi netriviale. Și anume, pentru egalitatea părților din stânga și din dreapta ale condiției de grup pentru reprezentarea lui U, relația trebuie îndeplinită:

t_{{bc}}=-t_{b}t_{c}-if_{{bc}}^{a}t_{a}

Astfel, operatorul de ordinul doi pentru descompunerea reprezentării unui grup s-a dovedit a fi exprimat în termeni de operatori de ordinul întâi, adică în termeni de generatori de grup. Cu toate acestea, consistența deplină necesită ca operatorul să fie simetric față de indici. Folosind expresia în termeni de generatori, cerința de simetrie înseamnă: $t_{{bc}}$

0=t_{{cb}}-t_{{bc}}=(t_{b}t_{c}-t_{c}t_{b})-i(f_{{cb}}^{a}-f_ {{bc}}^{a})t_{a}

De aici obținem expresia pentru comutatorul generatoarelor de grup:

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

unde sunt așa-numitele constante de structură ale grupului. $C_{{bc}}^{a}=f_{{cb}}^{a}-f_{{bc}}^{a}$

Un astfel de set de relații de comutație este algebra Lie. Astfel, generatoarele de grup generează o algebră Lie.

Aceste relaţii de comutaţie sunt singura condiţie care garantează expresia recursivă a operatorilor care apar în extinderea reprezentării grupului în termeni de ordinul doi şi superior. Astfel, toți termenii de expansiune pot fi exprimați în termeni de generatoare. Aceasta înseamnă că operatorii de reprezentare a grupului, cel puțin într-o anumită vecinătate a elementului de identitate, pot fi exprimați în mod unic în termeni de generatori de grup.

Într-un caz particular, când , relațiile de comutație arată că generatoarele fac naveta în perechi: . Un astfel de grup este abelian. Pentru un astfel de grup, este posibilă exprimarea operatorilor de reprezentare a grupului prin generatoare $C_{{bc}}^{a}=0$ $[t_{b},t_{c}]=0$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

O astfel de mapare de la o algebră Lie la un grup Lie se numește mapare exponențială.

Dovada

Într-un astfel de grup ; deci . Prin urmare, putem scrie următoarea relație de grup: $f(\alpha ,\beta )=\alpha +\beta$ $f(\alpha /n,\alpha /n,puncte,\alpha /n)=\sum _{n}\alpha /n=\alpha$

U(T(\alpha ))=U(T(\alpha /n))^{n}

;

pentru suficient de mare se poate folosi reprezentarea infinitezimala datorita micimii lui . Primim $n$ $\alpha /n$

U(T(\alpha ))=(1+i/n\alpha ^{a}t_{a})^{n}

Trecând la limita în raport cu , obținem expresia dorită pentru reprezentarea grupului pentru parametri arbitrari în termeni de exponent $n$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

Exemple de generatoare

Unitatea imaginară este generatorul grupului U(1) .
Matricele Pauli sunt generatoare ale grupului unitar special SU(2).
Matricele Gell-Mann sunt generatoare ale grupului unitar special SU(3).

Link -uri

V. S. Zamiralov „Concepte de bază ale teoriei grupurilor și reprezentărilor lor și unele aplicații la fizica particulelor” pe site-ul web al SINP MSU .