Flux geodezic

Un flux geodezic pe o varietate este un flux (sau, cu alte cuvinte, un grup de difeomorfisme cu un parametru ) pe un fascicul tangent ale cărui traiectorii sunt definite după cum urmează: fiecare vector se deplasează înainte de-a lungul tangentei geodezice la acesta în timp , rămânând tangent . la acest geodezic . $M$ $TM$ $v$ $t$ $t$

Într-un anumit sens, un astfel de flux generalizează mișcarea cu o viteză constantă în spațiul euclidian . De asemenea, merită subliniat faptul că, în ciuda numelui, fluxul geodezic este un flux în sensul sistemelor dinamice, definit tocmai pe fascicul tangent , și nu pe varietatea în sine . $\mathbb {R} ^{n}$ $TM$ $M$

Se consideră adesea un flux geodezic pe spațiul vectorilor tangenți unitari (deoarece lungimea unui vector este conservată sub un flux geodezic). $T_1 M$

Ecuația de curgere geodezică într-o varietate Riemanniană poate fi privită ca o ecuație a mecanicii hamiltoniene la energie potențială zero.

Exemple

După cum sa menționat mai sus, pentru o metrică euclidiană standard, fluxul geodezic definește mișcarea la o viteză constantă: ${{\mathbb {R}}}^{n}$

\Phi^t({X},{V})=( {X}+{V} t, {V}).

Traiectoriile fluxului geodezic pe planul Lobachevsky tind spre absolut atât în timp înainte cât și înapoi.
Fluxul geodezic pe o varietate de curbură negativă se dovedește a fi un flux Anosov : dinamica sa este haotică. Un caz particular în acest sens este curgerea pe o suprafață Riemann a genului , prevăzută cu metrica Poincaré . $g>1$

Vezi și

Geodezic
principiul lui Fermat
Curgerea oriciclică

Literatură

Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T., Modern geometry, v.2. Geometria varietatilor. M.: Editorial URSS, 1998.