Geodezic

Geodezică (și linie geodezică ) - o curbă de un anumit tip, o generalizare a conceptului de „ linie dreaptă ” pentru spațiile curbe.

Definiția specifică a unei linii geodezice depinde de tipul spațiului. De exemplu, pe o suprafață bidimensională încorporată în spațiul tridimensional euclidian , liniile geodezice sunt linii ale căror arce suficient de mici sunt cele mai scurte căi dintre capetele lor de pe această suprafață. Pe un plan , acestea vor fi linii drepte, pe un cilindru circular - linii elicoidale , generatoare rectilinii și cercuri , pe o sferă - arce de cercuri mari .

Liniile geodezice sunt utilizate în mod activ în fizica relativistă . Deci, un corp de testare din teoria generală a relativității se mișcă de-a lungul liniei geodezice a spațiu-timpului . În esență, evoluția temporală a tuturor sistemelor lagrangiene poate fi considerată ca o mișcare de-a lungul unei geodezice într-un spațiu special. Întreaga teorie a câmpurilor gauge poate fi reprezentată în acest fel .

Geometrie diferențială

Manifolds cu o conexiune afină

În varietățile cu o conexiune afină , o geodezică este o curbă care satisface ecuația $\nabla$ $\gamma (t)$

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0.

Sub formă de coordonate, această ecuație poate fi rescrisă folosind simbolurile Christoffel :

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{ \mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,

unde sunt coordonatele curbei. $x^{\mu }(t)$

Cu alte cuvinte, o curbă este o geodezică dacă un vector transferat în paralel de-a lungul ei, care era tangent la curba la punctul de plecare, rămâne tangent peste tot.

Varietăți riemanniene și pseudo-riemanniene

În spațiile riemanniene și pseudo-riemanniene , geodezica este definită ca curba critică a integralei energetice:

E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g{\big (}\gamma (t), {\dot {\gamma }}(t){\big )}\,dt,

aici este o curbă în spațiu, este metrica . (În fizică, această integrală este numită în mod obișnuit integrala de acțiune .) $\gamma (t)$ $g$

Această condiție este echivalentă cu:

\nabla _{{{\dot \gamma }}}{\dot \gamma }=0

de-a lungul întregii curbe, unde denotă legătura Levi-Civita . $\nabla$

Geometrie metrică

În spațiile metrice, o geodezică este definită ca o cale locală cea mai scurtă cu o parametrizare uniformă (adesea cu un parametru natural ).

Conform lemei Gauss , pentru varietățile Riemanniene această definiție definește aceeași clasă de curbe ca și definiția geometrică diferențială de mai sus.

Utilizare în fizică

Liniile geodezice sunt utilizate în mod activ în fizica relativistă. De exemplu, traiectoria unui corp de testare neîncărcat în cădere liberă în teoria relativității generale și în general în teoriile metrice ale gravitației este o linie geodezică a celui mai mare timp propriu , adică timpul măsurat de ceasurile care se mișcă cu corpul.

Adesea, o teorie fizică care are o acțiune sau este exprimată în formă hamiltoniană poate fi reformulată ca problema găsirii geodezicilor pe o varietate riemanniană sau pseudo-riemanniană .

Vezi și

Literatură

Grave D. A. Geodetic line // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă. - Orice ediție.
Mișcenko A. S., Fomenko A. T. . Curs de geometrie diferenţială şi topologie. - Orice ediție.
Postnikov M. M. . Teoria variațională a geodezicilor. - Orice ediție.
A. V. Cernavski . Geometrie diferențială, 2 cursuri .