Ortogonalitate hiperbolica

Ortogonalitatea hiperbolică  este un concept în geometria euclidiană . Se spune că două linii sunt hiperbolic ortogonale atunci când sunt reflexii una de cealaltă de-a lungul asimptotei hiperbolei date .

Două hiperbole speciale sunt adesea folosite în plan:

(A) xy = 1 pentru y = 0 ca asimptotă. Când este reflectată de-a lungul axei x, linia y = mx devine y = -mx . În acest caz, liniile sunt hiperbolice ortogonale dacă pantele lor sunt numere opuse . (B) x 2  - y 2 = 1 pentru y = x ca asimptotă. Pentru drepte y = mx pentru −1 < m < 1, când x = 1/ m , atunci y = 1. Punctul (1/ m , 1) de pe linie este reflectat prin y = x la (1, 1/ m ). Prin urmare, linia reflectată are o pantă de 1/m, iar pantele liniilor ortogonale hiperbolice sunt inverse între ele.

Relația de ortogonalitate hiperbolică se aplică de fapt claselor de linii paralele din plan, unde orice linie anume poate reprezenta o clasă. Astfel, pentru o hiperbolă dată și o asimptotă A , o pereche de drepte ( a, b ) sunt hiperbolice ortogonale dacă există o pereche ( c, d ) astfel încât , și c  este reflexia lui d prin A .

Proprietatea unei raze ortogonale la o tangentă pe o curbă este extinsă de la un cerc la o hiperbolă folosind noțiunea de ortogonalitate hiperbolică. [1] [2]

De la apariția spațiu- timpului Minkowski în 1908, conceptul de puncte hiperbolic ortogonale la linia temporală (tangentă la linia lumii ) din planul spațiu-timp a fost introdus pentru a determina simultaneitatea evenimentelor în raport cu o anumită linie temporală. Studiul lui Minkowski folosește hiperbola de tip (B). [3] Doi vectori sunt normali (în sensul ortogonalității hiperbolice) când

Unde c = 1, y și z sunt egale cu zero, x ≠ 0, t 1 ≠ 0, atunci .

În geometria analitică, o formă biliniară este folosită pentru a descrie ortogonalitatea , două elemente fiind ortogonale atunci când forma lor biliniară dispare. În planul numerelor complexe , forma biliniară este , în timp ce în planul numerelor hiperbolice forma biliniară este

Doi vectori z 1 și z 2 în planul complex și w 1 și w 2 în planul hiperbolic se spune că sunt, respectiv, euclidian ortogonal și hiperbolic ortogonal dacă produsele lor interne respective ale formelor biliniare sunt zero. [patru]

Pentru o hiperbolă dată cu asimptota A , reflexia ei la A dă hiperbola conjugată . Orice diametru al hiperbolei originale este reflectat în diametrul conjugat. În teoria relativității, direcțiile date de diametrele conjugate sunt luate ca axe spațiale și temporale.

După cum scria E. T. Whittaker în 1910, „Hiperbola este neschimbată dacă orice pereche de diametre conjugate este luată ca axe noi, iar noua unitate de lungime este luată proporțional cu lungimea oricăruia dintre aceste diametre”. [5] Pe acest principiu al relativității , el a scris apoi transformarea Lorentz în forma sa modernă folosind conceptul de rapiditate .

Edward B. Wilson și Gilbert N. Lewis au dezvoltat conceptul în geometria sintetică în 1912. Ei notează că „în planul nostru, nicio pereche de linii perpendiculare hiperbolice-ortogonale nu este mai potrivită ca axe de coordonate decât orice altă pereche” [1]

Conceptul de ortogonalitate hiperbolică a apărut în geometria analitică , ținând cont de diametrele conjugate ale elipselor și hiperbolelor. [6] Dacă g și g' sunt pantele diametrelor conjugate, atunci în cazul unei elipse și în cazul unei hiperbole. Dacă a = b , elipsa este un cerc, diametrele conjugate sunt perpendiculare, hiperbola este dreptunghiulară, iar diametrele conjugate sunt hiperbolic ortogonale.

În terminologia geometriei proiective , operația de luare a unei linii ortogonale hiperbolice este o involuție . Să presupunem că panta liniei verticale se notează cu ∞, atunci toate liniile au o pantă în dreapta reală extinsă proiectiv . Apoi, în funcție de care dintre hiperbole (A) sau (B) este utilizată, operația este un exemplu de involuție hiperbolică , unde asimptota este invariantă.

Note

  1. ↑ 1 2 Edwin B. Wilson și Gilbert N. Lewis (1912) „The Space-time Manifold of Relativity. Geometria non-euclidiană a mecanicii și electromagneticii" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507, esp. 415
  2. ↑ Bjørn Felsager (2004), Through the Looking Glass - A glimpse of Euclid's twin geometry, the Minkowski geometry Arhivat 16 iulie 2011 la Wayback Machine , ICME-10 Copenhaga; paginile 6 și 7.
  3. ↑ Minkowski, Hermann (1909), Raum und Zeit , Physikalische Zeitschrift vol . 10: 75–88 
    • Diverse traduceri în engleză la Wikisource: Space and Time
  4. ↑ Sobczyk, G. (1995) Hyperbolic Number Plane Arhivat la 13 noiembrie 2013 la Wayback Machine , publicat și în College Mathematics Journal 26:268-80 .
  5. ↑ E. T. Whittaker (1910) O istorie a teoriilor eterului și electricității Dublin: Longmans, Green and Co. (vezi pagina 441)
  6. ↑ Barry Spain (1957) Analytical Conics Arhivat la 5 martie 2016 la Wayback Machine , elipsă § 33, pagina 38 și hyperbola § 41, pagina 49, din Hathi Trust

Literatură