Funcții hiperbolice

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 2 mai 2021; verificările necesită 3 modificări .

Funcțiile hiperbolice sunt o familie de funcții elementare exprimate în termeni de exponențial și strâns legate de funcțiile trigonometrice .

Definiție

Funcțiile hiperbolice sunt date prin următoarele formule:

sinus hiperbolic :

\operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}

(notat în literatura engleză ) $\sinh x$

cosinus hiperbolic :

\operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}

(notat în literatura engleză ) $\cosh x$

tangenta hiperbolica :

\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x }+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}

(notat în literatura engleză ) $\tanh x$

cotangente hiperbolice :

\operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1 }}

(notat în literatura engleză ) $\coth x$

secanta hiperbolica :

\operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x)))

Secantele hiperbolice sunt uneori notate și ca . $\operatorname {sech} x$

cosecant hiperbolic :

\operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x)))

Definiție geometrică

Având în vedere relația , funcțiile hiperbolice dau o reprezentare parametrică a hiperbolei ( , ). În acest caz, argumentul este , unde este aria triunghiului curbiliniu , luată cu semnul „+” dacă sectorul se află deasupra axei și „−” în cazul opus. În mod evident, prin acest parametru se definesc și funcțiile hiperbolice, de exemplu, ecuațiile sinusului hiperbolice în formă parametrică: , unde este ordonata punctului hiperbolei corespunzătoare ariei . Această definiție este analogă cu definiția funcțiilor trigonometrice în termenii cercului unitar , care poate fi, de asemenea, construit într-un mod similar. $\operatorname {ch} ^{2}t-\operatorname {sh} ^{2}t=1$ $x^{2}-y^{2}=1$ $x=\operatorname {ch} t$ $y=\operatorname {sh} t$ $t=2S$ $S$ $OQR$ $BOU$ $x=t,y=f(t)$ $f(t)$ $t=2S$

Proprietăți

Legătura cu funcții trigonometrice

Funcțiile hiperbolice sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale argumentului imaginar .

$\operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)$ .

$\operatorname {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x$ .

Funcția Gudermann leagă funcțiile trigonometrice și funcțiile hiperbolice fără a implica numere complexe .

Relații importante

$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1.$

Dovada

$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\ dreapta)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\dreapta)^{2}={\frac {(e^{x}+ e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={\frac {e^{2x}+2+e^ {-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={\frac {2+2}{4}}=1$

Par/Impar :
1. $\operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x.$
2. $\operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x.$
3. $\operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x.$
4. $\operatorname {cth} (-x)=-\operatorname {cth} x.$
5. $\operatorname {sch} (-x)=\operatorname {sch} x.$
6. $\operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} x+1.$
Formule de adunare :
1. $\operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x.$
2. $\operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x.$
3. $\operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y} }.$
4. $\operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y} }.$
Formule cu unghi dublu:
1. $\operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x }}.$
2. $\operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.$
3. $\operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}.$
4. $\operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x).$
5. $\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x }}.$
6. $\operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}.$
Formule cu mai multe unghiuri:
1. $\operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x.$
2. $\operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x.$
3. $\operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}.$
4. $\operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x.$
5. $\operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x.$
6. $\operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^ {4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}.$
Opere de arta:
1. $\operatorname {sh} x\,\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (xy)}{2}}.$
2. $\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (xy)}{2}}.$
3. $\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (xy)}{2}}.$
4. $\operatorname {th} x\,\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (xy)}{\operatorname {ch} (x+y) +\operatorname {ch} (xy)}}.$
Sume:
1. $\operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2 }}.$
2. $\operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {xy}{2}}.$
3. $\operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {xy}{2}}.$
4. $\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} (x\pm y)}{\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y)).$
Formule de downgrade:
1. $\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}.$
2. $\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}.$
Derivate :

Funcţie $f(x)$	Derivat $f'(x)$	Notă
$\mathrm {sh} \x$	$\mathrm {ch} \ x$	Dovada $(sh(x))'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)$
$\mathrm {ch} \ x$	$\mathrm {sh} \x$	Dovada $(ch(x))'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)$
$\mathrm {th} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Dovada $(th(x))'=\left({\frac {sh(x)}{ch(x)}}\right)'={\frac {(sh(x))'\cdot ch( x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}} ={\frac {1}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Dovada $(cthx)'=\left({\frac {ch(x)}{sh(x)))\right)'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)- ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x) )}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{ \frac {1}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \x$	$-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$	Dovada $(sch(x))'=\left({\frac {1}{ch(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$	Dovada $(csch(x))'=\left({\frac {1}{sh(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$

Integrale : Vezi și: Lista integralelor funcțiilor hiperbolice , Lista integralelor funcțiilor hiperbolice inverse
1. $\int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C.$
2. $\int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C.$
3. $\int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C.$
4. $\int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C.$
5. $\int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C.$
6. $\operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt.$
7. $\operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt.$
8. $\operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}.$
Reprezentarea în termeni ai tangentei hiperbolice a unui semiunghi :
1. $\operatorname {sh} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
2. $\operatorname {ch} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2)}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
3. $\operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
4. $\operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{ 2}}}}$
5. $\operatorname {sch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2)}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
6. $\operatorname {csch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{ 2}}}}$

Inegalități

Pentru toată lumea rulează: $x\in \mathbb {R}$

$0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x$
$|\operatorname {th} x|<1$

Extinderea seriei de putere

\operatorname {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7 }}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

\operatorname {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{ 6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

\operatorname {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7} }{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1 }}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}

\operatorname {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac { 2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n }x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi

( serie Laurent )

\operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n }\,x^{2n}}{(2n)!}}

Aici sunt numerele Bernoulli și sunt numerele Euler . $B_{2n}$ $E_{2n}$

Grafice

Proprietăți analitice

Sinusul hiperbolic și cosinusul hiperbolic sunt analitice în întregul plan complex, cu excepția punctului esențial singular la infinit. Tangenta hiperbolică este analitică peste tot, cu excepția polilor din punctele , unde este un număr întreg. Reziduurile de la toți acești poli sunt egale cu unu. Cotangenta hiperbolică este analitică peste tot, cu excepția punctelor , reziduurile sale la acești poli sunt, de asemenea, egale cu unu. $z=i\pi (n+1/2)$ $n$ $z=i\pi n$

Funcții hiperbolice inverse

Ele se numesc altfel funcții-zonă: prefixul „zonă-” se adaugă la numele funcțiilor hiperbolice corespunzătoare - din lat. „zonă” - „zonă”. Valorile principale ale funcțiilor de zonă sunt definite de următoarele expresii.

$\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1)))$ - sinus hiperbolic invers, zonă-sinus.
$\operatorname {arc} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$ — cosinus hiperbolic invers, cosinus suprafață.
$\operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1$ - tangenta hiperbolica inversa, tangenta zonala.
$\operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1$ — cotangentă hiperbolică inversă, cotangentă de zonă.
$\operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)}}) {x));0<x\leq 1$ — secanta hiperbolică inversă, secanta ariei. Rețineți că soluția satisface și ecuația , dar principalele valori ale funcțiilor de zonă sunt funcții cu o singură valoare. $y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)})) {x)}$ $\operatorname {sch} y=x$
$\operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2))}) {x))=\left\{{\begin {matrice}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2)))){x)),\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\ sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.$ — cosecantă hiperbolică inversă, cosecantă de arie.

Grafice

Relația dintre unele funcții hiperbolice inverse și trigonometrice inverse:

\operatorname {Arsh} x=-i\operatorname {Arcsin} (-ix),

\operatorname {Arsh} (ix)=i\operatorname {Arcsin} x,

\operatorname {Arcsin} x=-i\operatorname {Arsh} (ix),

\operatorname {Arcsin} (ix)=-i\operatorname {Arsh} (-x),

\operatorname {Arccos} \ x=-i\ \operatorname {Arch} \ x,

unde i este unitatea imaginară .

Aceste funcții au următoarea extindere a seriei:

\operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac { 1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1) ^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}),\quad \ stânga\vert x\right\vert <1;

\operatorname {arc} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3 }} \cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _ {n =1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){ \frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;

\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7} }{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.

În literatura străină, funcțiile hiperbolice inverse sunt adesea notate cu un semn minus de gradul întâi: de exemplu, ele scriu ca (și denotă o altă funcție - ), etc. $\operatorname {Arth} \,x$ $\operatorname {tanh} ^{-1}x$ $(\operatorname {tanh} \,x)^{-1}$ $\operatorname {cth} \,x$

Istorie

Istoricii au descoperit prima apariție a funcțiilor hiperbolice în scrierile matematicianului englez Abraham de Moivre ( 1707 , 1722 ). O definiție modernă și un studiu detaliat al acestora a fost realizat de Vincenzo Riccati în 1757 („Opusculorum”, Volumul I), el a propus și desemnările lor: , . Riccati a pornit de la luarea în considerare a unei singure hiperbole (vezi figura din secțiunea #Definiție ) . $\operatorname {sh}$ $\operatorname {ch}$

O descoperire independentă și un studiu suplimentar al proprietăților funcțiilor hiperbolice a fost efectuat de Johann Lambert ( 1768 ), care a stabilit un paralelism larg între formulele trigonometriei obișnuite și hiperbolice. N. I. Lobachevsky a folosit ulterior acest paralelism, încercând să demonstreze consistența geometriei non-euclidiene , în care trigonometria circulară este înlocuită cu cea hiperbolică.

S-a stabilit o anumită inconsecvență în notarea funcțiilor hiperbolice. De exemplu, în Enciclopedia lui Brockhaus și Efron sunt folosite denumirile , desemnările înrădăcinate în literatura în limba rusă și înrădăcinate în literatura în limba engleză . $\operatorname {sinhyp}$ $\operatorname {coshyp}$ $\operatorname {sh} ,\operatorname {ch}$ $\sinh ,\cosh$

Aplicație

Funcțiile hiperbolice apar adesea în calculul diferitelor integrale . Unele integrale ale funcțiilor raționale și ale funcțiilor care conțin radicali pot fi calculate mai degrabă pur și simplu prin schimbarea variabilelor folosind funcții hiperbolice.

În același mod în care matricele de vizualizare descriu rotații în spațiul euclidian bidimensional , matricele descriu rotații în cel mai simplu spațiu Minkowski bidimensional . Din această cauză, funcțiile hiperbolice apar adesea în teoria relativității . ${\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix))$ ${\begin{pmatrix}{\mathop {\mathrm {ch} }}\,x&{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x\\{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x& {\mathop {\mathrm {ch} }}\,x\end{pmatrix}}$

O frânghie sau un lanț uniform, suspendat liber la capete, ia forma unui grafic al unei funcții (în legătură cu care graficul cosinus hiperbolic este uneori numit catenară ). Această circumstanță este utilizată în proiectarea arcurilor , deoarece forma arcului sub forma unei catenare inversate distribuie cel mai eficient sarcina. $y=a\,{\mathop {\mathrm {ch} }}\,{\frac {x}{a}}$

Literatură

Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Matematică superioară. Ecuatii diferentiale. Integrale multiple. Rânduri. Funcțiile unei variabile complexe. - Moscova: Nauka, 1985. - S. 464.

Shervatov V. G. Funcții hiperbolice - Gostekhizdat, 1954. - 58 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ). — 25.000 de exemplare.
A. R. Yanpolsky. funcții hiperbolice. - Moscova, 1960. - 195 p.

Link -uri

GonioLab : Demonstrație interactivă a funcțiilor trigonometrice și hiperbolice pe Java Web Start
TSB: Semne matematice
Funcții trigonometrice și hiperbolice inverse (engleză)

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Mare norvegian Marele Soviet (1 ed.) Brockhaus și Efron Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 11979371t J9U : 987007553158105171 LCCN : sh85052338 NDL : 00571407 NKC : ph1124553