Deducție (analiza complexă)

Un reziduu în analiza complexă este un obiect (un număr, o formă sau o clasă coomologică a unei forme) care caracterizează proprietățile locale ale unei anumite funcții sau forme .

Teoria reziduurilor unei variabile complexe a fost dezvoltată în principal de Cauchy în 1825-1829. Pe lângă el, rezultate importante au fost obținute de Ermit , Sokhotsky , Lindelöf . În 1887, Poincaré a generalizat teorema integrală a lui Cauchy și conceptul de reziduu la cazul a două variabile [1] , din acel moment ia naștere teoria multidimensională a reziduurilor. Cu toate acestea, s-a dovedit că acest concept poate fi generalizat în diferite moduri.

Pentru a desemna reziduul unei funcții analitice într-un punct , se folosește o expresie (din lat. residuum ). În literatura în limba rusă, uneori se face referire la [2] . $f(z)$ $z_{0}$ ${\mathop {{\mathrm {Rez.}}}}\left[f(z),z_{0}\right]$ ${\text{calc}}\left[f(z),z_{0}\right]$

Analiză complexă unidimensională

Deducerea funcției

Pentru o funcție cu valori complexe dintr- un domeniu care este obișnuit într-o vecinătate perforată a punctului , reziduul său la punctul este numărul: $f(z)$ $D\subseteq {\mathbb C}$ $a\în D$ $A$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \ limite _{{|za|=\rho }}\!f(z)\,dz

Deoarece funcția este holomorfă într-o mică vecinătate perforată a punctului , după teorema Cauchy, valoarea integralei nu depinde de valori suficient de mici ale acestui parametru, precum și de forma căii de integrare. Singurul lucru important este că calea este o curbă închisă în zona de analiticitate a funcției, odată ce închide punctul luat în considerare și fără alte puncte care nu aparțin zonei de holomorfie . $f(z)$ $A$ $\rho$ $f$

Într-o apropiere a punctului , funcția este reprezentată de o serie Laurent convergentă în puteri de . Este ușor de arătat că reziduul coincide cu coeficientul seriei la . Această reprezentare este adesea luată ca definiție a reziduului unei funcții. $A$ $f(z)$ $za$ $c_{{-1}}$ $(za)^{{-1}}$

Deducere la „infinit”

Pentru a permite un studiu mai complet al proprietăților unei funcții, este introdus conceptul de reziduu la infinit, în timp ce acesta este considerat ca o funcție pe sfera Riemann . Fie punctul de la infinit un punct singular izolat , atunci restul de la infinit este un număr complex egal cu: $f(z)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-\lim _({\rho \to \infty }}{1 \over {2\pi i}} \int \limits _{{|z|=\rho }}\!f(z)\,dz

Ciclul de integrare în această definiție este orientat pozitiv, adică în sens invers acelor de ceasornic.

Similar cu cazul precedent, reziduul de la infinit are și o reprezentare sub forma coeficientului expansiunii Laurent în vecinătatea punctului de la infinit:

{\mathop {{\mathrm {Rez.}}}}_{\infty }\,f(z)=-c_{{-1}}

Forma diferenţială reziduală

Din punctul de vedere al analizei asupra varietăților , este nefiresc să se introducă o definiție specială pentru un punct distins al sferei Riemann (în acest caz, la infinit). Mai mult, o astfel de abordare este dificil de generalizat la dimensiuni superioare . Prin urmare, conceptul de reziduu este introdus nu pentru funcții, ci pentru forme diferențiale pe sfera Riemann: $(1,\;0)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,\omega =\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _ {{|za|=\rho }}\!\omega

La prima vedere, nu există nicio diferență în definiții, dar acum este un punct arbitrar , iar schimbarea semnului la calcularea reziduului la infinit se realizează prin modificarea variabilelor din integrală. $A$ $\overline {{\mathbb C}}$

Reziduuri logaritmice

Integrala se numește restul logaritmic al funcției în raport cu conturul . ${1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz$ $f(z)$ $L$

Noțiunea de reziduu logaritmic este folosită pentru a demonstra teorema lui Rouché și teorema fundamentală a algebrei .

Modalități de calculare a deducerilor

Prin definiție, reziduul poate fi calculat ca o integrală de contur, dar în cazul general acest lucru este destul de laborios. Prin urmare, în practică, ei folosesc în principal consecințele definiției.

La punctul singular amovibil , precum și la punctul de regularitate, restul funcției este egal cu zero. În același timp, această afirmație nu este adevărată pentru un punct la infinit. De exemplu, o funcție are un zero de ordinul întâi la infinit, totuși, . Motivul pentru aceasta este că forma are o singularitate atât la zero, cât și la infinit. $a\în {\mathbb C}$ $f(z)$ $f(z)={\frac {1}{z}}$ ${\mathop {{\mathrm {Rez.}}}}_{{\infty }}\,{\frac 1{z}}=-1$ ${\frac {dz}{z))$

În polul multiplicității , reziduul poate fi calculat cu formula: $A$ $n$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{{z\to a}}{{d^ {{(n-1)}} \over dz^{{(n-1)}}}[(za)^{n}f(z)]}

caz special $n=1$

{\mathop {{\mathrm {Rez.}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{z\to a}}{(za)f(z)}

Dacă funcția are un pol simplu în punctul , unde și sunt funcții holomorfe în vecinătatea , , , atunci se poate folosi o formulă mai simplă: $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)))$ $A$ $g(z)$ $h(z)$ $A$ $h(a)=0$ $h'(a)\neq 0$

{\mathop {{\mathrm {Rez.}}}}_{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a))))

Foarte des, mai ales în cazul punctelor esențial singulare , este convenabil să se calculeze reziduul folosind expansiunea seriei Laurent a funcției. De exemplu, deoarece coeficientul lui at este egal cu 1. ${\mathop {{\mathrm {Rez.}}}}_{0}\,e^{{1/z}}={\mathop {{\mathrm {Rez.}}}}_{0}\,\left (1+{\frac 1{z}}+{\frac 1{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1$ $z^{{-1}}$

Aplicații ale teoriei reziduurilor

În cele mai multe cazuri, teoria reziduurilor este aplicată pentru a calcula diferite tipuri de expresii integrale folosind teorema principală a reziduului . Adesea utilă în aceste cazuri este lema lui Jordan .

Calcule ale integralelor definite ale funcțiilor trigonometrice

Fie funcția o funcție rațională a variabilelor și . Pentru a calcula integralele formei, este convenabil să folosiți formulele Euler . Presupunând că și făcând transformările corespunzătoare, obținem: $R(u,\;v)$ $u$ $v$ $\int \limits _{0}^{{2\pi }}R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi$ $z=e^{{i\varphi }}$

\int \limits _{0}^{{2\pi }}\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum {\mathop {{\ mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}R(z)

Calculul integralelor improprii

Pentru a calcula integrale improprii folosind teoria reziduurilor, se folosesc următoarele două leme:

1. Fie funcția holomorfă în semiplanul superior și pe axa reală, cu excepția unui număr finit de poli care nu se află pe axa reală și . Apoi $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{{k=1}}^{n}{\ mathop {{\mathrm {Rez.}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)

2. Fie funcția holomorfă în semiplanul superior și pe axa reală, cu excepția unui număr finit de poli , care nu se află pe axa reală, și . Apoi $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$ $\alpha >0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)e^{{i\alpha x}}\,dx=2\pi i\sum _{{k =1}}^{n}{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)e^{{i\alpha z}}

În acest caz, integralele din stânga egalităților nu trebuie să existe și, prin urmare, sunt înțelese numai în sensul valorii principale (după Cauchy) .

Analiză complexă multivariată

Form-reziduu și clasă-reziduu

Deducere locală

Flux rezidual

Note

↑ H. Poincare. Sur les résidues des integrales doubles // Acta Math. - 1887. - Nr 9 . - S. 321-380 . - doi : 10.1007/BF02406742 .
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - Ed. a III-a, add. — M.: Nauka, 1974. — 320 p.

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka, 1976.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1979.
Aizenberg L. A., Yuzhakov A. P. Reprezentări integrale și reziduuri în analiza complexă multidimensională. - Novosibirsk: Nauka, 1979.
Tsikh A.K. Reziduuri multidimensionale și aplicațiile lor. - Novosibirsk: Nauka, 1988.