Clasa Zhen

Clasele Chern (sau clasa Chern ) sunt clasele caracteristice asociate cu pachete de vectori complexe .

Clasele de Zhen au fost introduse de Shiing-Shen Zhen [1] .

Abordare geometrică

Idee de bază și fundal

Clasele Zhen sunt clase caracteristice . Sunt invarianți topologici asociați cu mănunchiuri de vectori pe varietăți netede. Întrebarea dacă două pachete vectoriale aparent diferite sunt același pachet poate fi o problemă destul de dificilă. Clasele Chern oferă un test simplu — dacă clasele Chern ale unei perechi de mănunchiuri de vectori nu sunt de acord, pachetele de vectori sunt distincte. Reversul, însă, nu este adevărat.

În topologie, geometrie diferențială și geometrie algebrică , este adesea important să numărăm câte secțiuni liniar independente are un pachet vectorial. Clasele Chern oferă câteva informații despre aceasta prin, de exemplu, teorema Riemann-Roch și teorema indicelui Atiyah-Singer .

Cursurile lui Zhen sunt, de asemenea, convenabile pentru calcule practice. În geometria diferențială (și unele tipuri de geometrie algebrică), clasele Chern pot fi exprimate ca polinoame în coeficienții formei de curbură .

Construirea claselor Zhen

Există diverse abordări ale claselor, fiecare concentrându-se pe proprietăți ușor diferite ale claselor Chern.

Abordarea inițială a claselor Chern a fost o abordare din partea topologiei algebrice - clasele Chern apar prin teoria homotopiei , care permite construirea unei hărți a varietatii asociate cu pachetul V în spațiul de clasificare (un infinit Grassmanian în acest caz). Pentru orice pachet vectorial V peste o varietate M , există o mapare f de la M la un spațiu de clasificare astfel încât pachetul V este egal cu imaginea inversă (în raport cu f ) a fasciculului universal peste spațiul de clasificare și Chern clasele pachetului V pot fi deci definite ca imagini inverse ale claselor Chern ale pachetului universal. Aceste clase universale Chern, la rândul lor, pot fi scrise explicit în termeni de cicluri Schubert .

Se poate demonstra că două mapări f și g de la M la un spațiu de clasificare ale cărui imagini inverse sunt același pachet V trebuie să fie homotopice. Astfel, imaginile inverse față de f și g ale oricărei clase Chern universale din clasa de coomologie a lui M trebuie să fie aceeași clasă. Aceasta arată că clasele Chern ale lui V sunt bine definite.

Abordarea lui Zheng se bazează pe geometria diferențială prin utilizarea curburii descrise în acest articol. Zhen a arătat că definiția anterioară era, de fapt, echivalentă cu definiția sa. Teoria rezultată este cunoscută sub numele de teoria Chen-Weil .

Există și abordarea lui Alexander Grothendieck , care a arătat că este suficient din punct de vedere axiomatic să definim doar clasele de fascicule de linii.

Clasele Chern apar în mod natural în geometria algebrică . Clasele Chern generalizate în geometria algebrică pot fi definite pentru mănunchiuri vectoriale (sau mai precis, snopi liberi local ) peste orice varietate nesingulară. Clasele algebric-geometrice ale lui Zhen nu impun restricții asupra domeniului principal. În special, pachetele de vectori nu trebuie să fie complexe.

Indiferent de paradigma originală, sensul intuitiv al clasei Chern se referă la „zerourile” secțiunilor unui pachet vectorial. De exemplu, o teoremă care afirmă că este imposibil să pieptănați o minge cu păr ( teorema pieptănării ariciului ). Deși, strict vorbind, întrebarea se referă la un mănunchi vector real („părul” de pe minge este o copie a liniei reale), există generalizări în care „părul” este complex (vezi exemplul pieptănării complexe a ariciului). teorema de mai jos), sau pentru spații proiective unidimensionale peste multe alte câmpuri.

Clasa Chern de pachete de linii

(Fie X un spațiu topologic de tip homotopie complex CW .)

Un caz special important apare atunci când V este un fascicul de linii . Apoi, singura clasă Chern netrivială este prima clasă Chern, care este un element al celui de-al doilea grup de coomologie a spațiului X. Fiind cea mai înaltă clasă a Zhen, este egală cu clasa Euler a pachetului.

Prima clasă Chern se dovedește a fi un invariant complet , conform căruia sunt clasificate pachete de linii complexe din categoria topologică. Adică, există o bijecție între clasele de fascicule de linii izomorfe peste X și elementele lui H 2 ( X ; Z ) care se referă la fasciculul de linii prima sa clasă Chern. Mai mult, această bijecție este un homomorfism de grup (adică un izomorfism):

c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L')

;

produsul tensor al fasciculelor de linii complexe corespunde adunării în a doua grupă de coomologie [2] [3] .

În geometria algebrică , această clasificare a fasciculelor de linii complexe (clase izomorfe) de către prima clasă Chern este o aproximare aproximativă a clasificării fasciculelor de linii holomorfe (clase de izomorfe) după clase de divizori echivalenti liniar .

Pentru pachetele de vectori complexe cu dimensiunea mai mare de unu, clasele Chern nu sunt invariante complete.

Clădiri

Cu ajutorul teoriei Chen-Weyl

Având în vedere un pachet vectorial Hermitian complex V de rang complex n peste o varietate diferențiabilă M , un reprezentant al fiecărei clase Chern (numită formă Chern ) c k ( V ) al pachetului V este dat de coeficienții polinomului caracteristic a formei de curbură a mănunchiului V . $\Omega$

\det \left({\frac {it\Omega} {2\pi }}+E\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}

Determinantul este preluat peste un inel de n × n matrice ale căror elemente sunt polinoame în t cu coeficienți din algebra comutativă a formelor diferențiale complexe chiar pe M . Forma de curbură a fasciculului V este dată de $\Omega$

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]

unde este forma de conexiune și d este diferența exterioară sau aceeași expresie în care este forma de gabarit pentru grupul de gabarit pentru mănunchiul V. Scalarul t este folosit doar ca o variabilă necunoscută pentru a genera suma din determinant, iar E înseamnă o matrice de identitate n × n . $\omega$ $\omega$

Cuvintele pe care această expresie le oferă unui reprezentant al clasei Zhen înseamnă că „clasa” aici este definită până la forma diferențială exactă . Adică, clasele Chern sunt clase de coomologie în sensul coomologiei de Rham . Se poate arăta că clasa de coomologie a formelor Chern nu depinde de alegerea conexiunii în V .

Folosind identitatea matricei tr(ln( X ))=ln(det( X )) și seria Maclaurin pentru ln( X + I ), această expresie pentru forma Chern se extinde în

\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega)}{2\pi }}t+{ \frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\ frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega ) )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].

Cu ajutorul clasei Euler

Se poate defini clasa Chern în termenii clasei Euler. Această abordare este folosită în cartea lui Milnor și Stashef [4] și subliniază rolul de orientare a mănunchiului vectorial .

Observația principală este că pachetul vectorial complex are o orientare canonică datorită faptului că este conectat. Prin urmare, se poate defini cea mai înaltă clasă Chern a unui pachet ca fiind clasa lui Euler și se poate lucra cu clasele Chern rămase prin inducție. $GL_{n}(\mathbb {C} )$

Construcția exactă este următoarea. Ideea este de a schimba baza pentru a obține un pachet de un rang mai mic. Fie un pachet vectorial complex peste un spațiu paracompact B . Considerând B ca o secțiune zero încorporată în E , setăm și definim un nou pachet vectorial: $\pi:E\rightarrow B$ $B'=EB$

E'\to B',

a cărei fibră este un factor al fibrei F a mănunchiului E de-a lungul liniei parcurse de vectorul v în F (un punct în B' este determinat de fibra F a fasciculului E și un vector diferit de zero din F .) [5] . Atunci E' are rangul cu unu mai puțin decât rangul lui E . Din secvența Gisin pentru pachet : $\pi |_{B'}:B'\to B$

\cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname { H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,

vedem care este un izomorfism pentru k < 2 n − 1. Fie $\pi |_{B'}^{*}$

c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E'),&k<n\\ e(E_{\mathbb {R} }),&k=n\\0,&k>n.\\\end{cases}}

Este nevoie de mai multă muncă pentru a verifica dacă axiomele clasei Zhen sunt valabile pentru o astfel de definiție.

Exemple

Mănunchiul tangent complex al sferei Riemann

Fie CP 1 sfera Riemann , un spațiu proiectiv complex unidimensional . Să presupunem că z este o coordonată locală holomorfă pe sfera Riemann. Fie V = T CP 1 un creion de vectori tangenți complecși de forma a ∂/∂ z în fiecare punct, unde a este un număr complex. Vom demonstra o versiune complexă a teoremei pieptănării ariciului : V nu are secțiuni care nu dispar.

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de următorul fapt: prima clasă Chern a unui pachet trivial este egală cu zero, adică

c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {C} })=0.

Acest lucru rezultă din faptul că un pachet banal are întotdeauna o conexiune plată.

Să arătăm asta

c_{1}(V)\not =0.

Luați în considerare metrica Kähler

h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Se poate arăta că forma 2-curbură este dată de

\Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Mai mult, prin definiția primei clase de Zhen

c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \\Omega \right].

Trebuie să arătăm că această clasă de coomologie este diferită de zero. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați integrala peste sfera Riemann:

\int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2} )^{2}}}=2

după trecerea la sistemul de coordonate polare . După teorema lui Stokes , integrala formei exacte trebuie să fie egală cu 0, deci clasa de coomologie este diferită de zero.

Aceasta demonstrează că T CP 1 nu este un pachet vectorial trivial.

Spațiu proiectiv complex

Există o succesiune exactă de pachete [6] :

0\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P } ^{n))(1)^{\oplus (n+1)}\la T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\la 0,

unde este un snop structural (adică un mănunchi de linii triviale), este un snop Serre răsucit (adică un snop hyperplanes ), iar ultimul termen diferit de zero este un snop tangent / mănunchi. ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)$

Există două moduri de a obține secvența de mai sus:

[7] Fie z 0 , … z n coordonate în,și. Atunci noi avem: $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\pi :\mathbb {C} ^{n+1}-0\la \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n)$ $U=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}-\{z_{0}=0\)$ $\pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2} },\,i\geq 1.$
Cu alte cuvinte, snopul cotangent , care este un modul liber cu bază , este inclus în secvența exactă $\Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{U}$ $d(z_{i}/z_{0})$
$\textstyle \quad 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{ \to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\la 0,\,i\geq 0,$ unde este baza termenului mediu. Aceeași secvență este atunci exactă pentru întreg spațiul proiectiv, iar secvența de mai sus este duală. $e_{i}$
Fie L o dreaptă care trece prin origine. Este ușor de observat că spațiul tangent complex la un punct L este în mod natural izomorf cu setul de mapări liniare de la L la complementul său. [8] Astfel, fasciculul tangent poate fi identificat cu fasciculul de homomorfisme $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ $T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n)$ $\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )$ unde este un pachet vectorial astfel încât . Asta implică: $\eta$ ${\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1))$ $T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\ oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1 )}$ .

Având în vedere aditivitatea clasei Chern complete c = 1 + c 1 + c 2 + ... (adică formulele sumei Whitney),

c(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}) {\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n })=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1 }

unde a este generatorul canonic al grupului de coomologie . Adică, luată cu semnul minus, valoarea primei clase Chern a pachetului de linii tautologice (Notă: când E * este dualul lui E .) În special, pentru orice , $H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n},\mathbb {Z} )$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(-1)$ $c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)$ $k\geqslant 0$

c_{k}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.

Polinomul lui Zhen

Polinomul Chern este o modalitate convenabilă de a lucra cu clasele Chern și concepte înrudite. Prin definiție, pentru un pachet vectorial complex E , polinomul Chern c t al pachetului E este dat de:

c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.

Acesta nu este un invariant nou - necunoscutul formal t reflectă pur și simplu puterea c k ( E ) [9] . În special, este complet definit de clasa Chern completă a pachetului E - . $c_{t}(E)$ $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)$

Formula sumei Whitney, una dintre axiomele claselor Chern (vezi mai jos), afirmă că c t este aditiv în sensul:

c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').

Acum, dacă este o sumă directă a pachetelor de linii (complexe), atunci formula sumei Whitney implică: $E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n)$

c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)

unde sunt primele clase Chern. Rădăcinile , se numesc rădăcini Chern ale fasciculului E și determină coeficienții polinomului. Acesta este, $a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})$ $a_{i}(E)$

c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots, a_{n}(E))

unde sunt polinoame simetrice elementare . Cu alte cuvinte, dacă considerăm a i ca variabile formale, c k sunt „egale” . Faptul de bază despre polinoamele simetrice este că orice polinom simetric din, de exemplu, t i este un polinom din polinoamele simetrice elementare din t i . Conform principiului divizării sau din teoria inelelor, orice polinom Chern se descompune în factori liniari după o creștere a inelului de coomologie. Prin urmare, E nu trebuie să fie o sumă directă a fasciculelor de linii. Concluzie $\sigma _{k)$ $\sigma _{k)$ $c_{t}(E)$

„Se poate calcula orice polinom simetric f într-un pachet vectorial complex E scriind f ca polinom în și apoi înlocuindu -l cu ”.

\sigma _{k)

\sigma _{k)

c_{k}(E)

Exemplu : Avem polinoame s k

t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots, t_{n}), \ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))

cu și așa mai departe (vezi identitățile lui Newton ). Sumă $s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2)$

\operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1} (E),\ldots ,c_{n}(E))/k!

se numește caracterul Chern al pachetului E ai cărui primi câțiva termeni sunt: (omitem E în notație )

\operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{ \frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .

Exemplu : Clasa Todd a pachetului E este dată de:

{\begin{aligned}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i)}}=1 +{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{aligned}}

Notă : Observația că clasa Chern este în esență un polinom simetric elementar poate fi folosită pentru a „defini” clasele Chern. Fie G n un infinit Grassmanian spații vectoriale complexe n -dimensionale. Este un spațiu de clasificare în sensul că având în vedere un pachet vectorial complex E de rang n peste X , există o mapare continuă

f_{E}:X\la G_{n},

unic până la homotopie. Teorema Borel afirmă că inelul de coomologie al lui Grassmannian G n este exact inelul polinoamelor simetrice, care sunt polinoame în polinoame simetrice elementare . Astfel, pentru preimaginea f E $\sigma _{k)$

f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots,\sigma _{n}]\la H^{*}(X,\mathbb {Z} ).

Unde

c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).

Observație : Orice clasă caracteristică este un polinom în clasele Chern din următoarele motive. Fie un functor contravariant care asociază cu un complex CW X mulțimea de clase de mănunchiuri de vector complexe izomorfe de rang n peste X . Prin definiție, o clasă caracteristică este o transformare naturală de la un functor de coomologie.Clasele caracteristice formează un inel datorită structurii inelare a inelului de coomologie. Lema lui Yoneda afirmă că inelul claselor caracteristice este exact inelul de coomologie al lui Grassmannian G n : $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }$ $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]$ $H^{*}(-,\mathbb {Z}).$

\operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].

Proprietățile claselor lui Zhen

Având în vedere un pachet vectorial complex E peste un spațiu topologic X , clasele Chern ale pachetului E sunt o succesiune de elemente de coomologie ale spațiului X . a k - a clasă Chern a mănunchiului E , de obicei notat cu c k ( V ), este un element

H2k ( X ; Z ) , _

coomologia spațiului X cu coeficienți întregi . De asemenea, se poate defini o clasă Zhen completă

c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .

Deoarece valorile sunt mai degrabă în grupuri de coomologie întregi decât în coomologie cu coeficienți reali, aceste clase Chern sunt puțin mai clare decât cele din exemplul Riemannian.

Definiție axiomatică clasică

Clasele Zhen satisfac următoarele patru axiome:

Axioma 1. pentru toate fasciculele E . $c_{0}(E)=1$

Axioma 2. Naturalitatea: Dacă este continuă și f*E este mănunchiul vectorial indus al mănunchiului E , atunci . $f:Y\la X$ $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)$

Axioma 3. Formula sumei Whitney : Dacă este un alt pachet vectorial complex, atunci clasele Chern ale sumei directe sunt date de $F\la X$ $E\oplus F$

c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);

acesta este,

c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{ki}(F).

Axioma 4. Normalizare: Clasa Chern completă a unui pachet de linii tautologice peste CP k este egală cu 1 − H , unde H este dualul Poincaré al hiperplanului . $\mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k)$

Abordarea axiomatică a lui Alexander Grothendieck

Alternativ, Grothendieck [10] a înlocuit aceste axiome cu puțin mai puține axiome:

Naturalitate: (la fel ca mai sus)
Aditivitate: Dacă este o secvență exactă de mănunchiuri de vectori, atunci . $\ 0\la E'\la E\la E''\la 0$ $c(E)=c(E')\smile c(E'')$
Normalizare: Dacă E este un pachet de linii , atunci , unde este clasa Euler a pachetului vectorial real subiacent. $c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })$ $e(E_{\mathbf {R} })$

El a arătat, folosind teorema Leray-Hirsch , că clasa Chern completă a unui pachet vectorial complex de rang finit poate fi definită în termenii primei clase Chern a unui pachet de linii definite tautologic.

Și anume, prin introducerea proiectivizării P ( E ) a unui fascicul vectorial complex de rang n ca un fascicul pe B a cărui fibră într-un punct arbitrar este spațiul proiectiv al fibrei E b . Spațiul total al acestui mănunchi P ( E ) este dotat cu fascicul său de linii complexe tautologice, pe care îl notăm cu , și prima clasă Chern $E\rightarrow B$ $b\în B$ $\tau$

c_{1}(\tau )=:-a

este restrânsă pe fiecare strat de P ( E b ) la clasa cu semnul minus (Poincaré dual) a hiperplanului, care generează coomologia stratului.

Clase

1,a,a^{2},\ldots,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))

formează astfel o familie de clase de coomologie care sunt limitate la baza de coomologie a stratului. Teorema Leray-Hirsch afirmă că orice clasă din H* ( P ( E )) poate fi scrisă în mod unic ca o combinație liniară de 1, a , a 2 , …, a n −1 cu clase în bază ca coeficienți .

În special, se pot defini clasele Chern ale pachetului E în sensul lui Grothendieck, care sunt notate prin descompunerea clasei în felul următor: $c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)$ $-a^{n)$

-a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E) .

Puteți verifica dacă această definiție alternativă este aceeași cu orice altă definiție.

Clasa senior a lui Zheng

De fapt, aceste proprietăți definesc în mod unic clasele Chern. Rezultă, printre altele:

Dacă n este rangul complex al lui V , atunci pentru toate k > n . Astfel, clasa Zhen completă se pauze. $c_{k}(V)=0$
Cea mai înaltă clasă Chern a unui pachet V ( , unde n este rangul lui V ) este întotdeauna egală cu clasa Euler a pachetului vectorial real subiacent. $c_{n}(V)$

Clasele Chern în geometrie algebrică

Descriere axiomatică

Există o altă construcție a claselor Chern care ia valori în analogul algebro-geometric al inelului de coomologie , inelul Zhou . Se poate demonstra că există o teorie unică a claselor Chern, astfel încât, pentru un pachet de vectori algebric dat peste o varietate cvasiproiectivă, există o secvență de clase astfel încât $E\la X$ $c_{i}(E)\in A^{i}(X)$

$c_{0}(E)=1$
Pentru un fascicul reversibil , ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ $c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]$
Având în vedere o succesiune exactă de mănunchiuri vectoriale , formula sumei Whitney este valabilă: $0\la E'\la E\la E''\la 0,$ $c(E)=c(E')c(E'')$
$c_{i}(E)=0$ pentru $i>{\text{rank}}(E)$
Maparea este extinsă la un morfism inel $E\mapsto c(E)$ $c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)$

Calcule abstracte folosind proprietăți formale

Sumele directe ale pachetelor de linii

Folosind aceste relații, putem efectua numeroase calcule pentru pachetele vectoriale. În primul rând, rețineți că, dacă avem mănunchiuri de linii , putem forma o secvență scurtă exactă de pachete vectoriale ${\mathcal {L}},{\mathcal {L}}'$

0\la {\mathcal {L}}\la {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}'\la {\mathcal {L}}'\la 0

Folosind proprietățile și , obținem $unu$ $2$

{\begin{aligned}c({\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}')&=c({\mathcal {L}})c({\mathcal {L}} ')\\&=(1+c_{1}({\mathcal {L))))(1+c_{1}({\mathcal {L))'))\\&=1+c_{1 }({\mathcal {L}})+c_{1}({\mathcal {L}}')+c_{1}({\mathcal {L}})c_{1}({\mathcal {L} }')\end{aliniat}}

Prin inducție obținem

c(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{i})=c({\mathcal {L}}_{1})\cdots c({\ matematic {L}}_{n})

Pachete dual to line bundles

Deoarece fasciculele de linii dintr-o varietate proiectivă netedă sunt definite de clasa divizorului , iar fasciculul de linii duale este definit de clasa divizorului negativ , obținem $X$ $[D]$ $-[D]$

c_{1}({\mathcal {L}})=-c_{1}({\mathcal {L}}^{*})

Pachetul tangent al unui spațiu proiectiv

Cele de mai sus pot fi aplicate secvenței lui Euler pentru spațiul proiectiv

0\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^ {\oplus (n+1)}\la {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\la 0

a calcula

{\begin{aligned}c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)})c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n }})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)})\\c({\mathcal {T} }_{\mathbb {P} ^{n)))&=(1+H)^{n+1}\\&={n+1 \choose 0}1+{n+1 \choose 1}H+ \cdots +{n+1 \choose n}H^{n}\end{aligned}}

unde este clasa de hiperplanuri de gradul 1. De asemenea, rețineți că în inelul Zhou . $H$ $H^{n+1}=0$ ${\mathbb {P}}^{n}$

Secvență normală

Calculul claselor caracteristice pentru un spațiu proiectiv este baza pentru calculul claselor caracteristice ale multor alte spații, deoarece pentru orice subvarietate proiectivă netedă există o scurtă secvență exactă $X\subset \mathbb {P} ^{n}$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N } }}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\la 0

Chintică tridimensională

De exemplu, luați în considerare o chintică tridimensională în . Apoi este dat pachetul normal și avem o scurtă secvență exactă $\mathbb {P} ^{4}$ ${\mathcal {O}}_{X}(5)$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O }}_{X}(5)\la 0

Să notăm clasa de hiperplane în . Apoi formula sumei Whitney ne oferă $h$ $A^{\bullet }(X)$

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))&=(1+h)^{5 }\\&=1+5h+10h^{2}+10h^{3}\end{aligned}}

Deoarece inelul Zhou al unei hipersuprafețe este dificil de calculat, vom considera această secvență ca o secvență de snopi coerente în . Asta ne dă $\mathbb {P} ^{4}$

c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}

Rețineți că există o serie formală de putere

{\begin{aligned}{\frac {1}{1+5h}}&=1-5h+25h^{2}-125h^{3}+\cdots \\&=1-5h+25h ^{2}-125h^{3}\end{aliniat}}

Folosind asta putem obține

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&=(1+5h+10h^{2}+10h^{3})(1-5h+25h^{ 2}-125h^{3})\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}

Folosind teorema Gauss-Bonnet , putem integra clasa pentru a calcula caracteristica lui Euler. Aceasta se numește în mod tradițional clasa Euler . Avem $c_{3}({\mathcal {T}}_{X})$

\int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200

întrucât clasa poate fi reprezentată prin cinci puncte (prin teorema lui Bézout . Caracteristica Euler poate fi apoi utilizată pentru a calcula numerele Betti folosind definiția caracteristicii Euler și teorema secțiunii hiperplanului Lefschetz . $h^3$ $X$

Secvență cotangentă

Un alt calcul util este pachetul cotangent pentru un spațiu proiectiv. Putem dualiza șirul lui Euler și obținem

0\la \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)^{\oplus n +1}\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\la 0

Folosind formula sumei Whitney, obținem

{\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{n}})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}^ {\oplus (n+1)})c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))\\&=(1-H)^{n+1}\\& =1-{n+1 \choose 1}H+{n+1 \choose 2}H^{2}+\cdots +{n+1 \choose n}(-1)^{n}H^{n} \end{aliniat}}

Concepte înrudite

Personajul lui Zhen

Clasele Chern pot fi folosite pentru a construi un homomorfism inel din teoria K topologică a unui spațiu pentru a-și completa coomologia rațională. Pentru un pachet de linii L , caracterul Chern este dat de

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Mai general, dacă este o sumă directă a pachetelor de linii cu primele clase Chern, caracterul Chern este definit aditiv $V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n)$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).

Acesta poate fi rescris după cum urmează [11] :

\operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2 }-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_ {3}(V))+\cdots .

Această ultimă expresie, susținută de principiul divizării , este folosită ca definiție a lui ch(V) pentru mănunchiurile vectoriale arbitrare V .

Dacă o conexiune este utilizată pentru a defini clasele Chern atunci când baza este o varietate (adică teoria Chern-Weil ), expresia explicită pentru caracterul Chern este

{\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega} {2\pi }}\right)\ corect corect]

unde este curbura conexiunii. $\Omega$

Caracterul Chern este util, printre altele, pentru că permite să se calculeze clasa Chern a unui produs tensor. Mai precis, satisface următoarele egalități:

{\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)

{\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).

După cum sa menționat mai sus, folosind axioma de aditivitate a lui Grothendieck pentru clasele Chern, prima dintre aceste identități poate fi generalizată la afirmația că ch este un homomorfism al grupurilor abeliene de la teoria K K ( X ) la spațiul de coomologie rațional X. A doua identitate stabilește faptul că acest homomorfism păstrează produsul în K ( X ), și prin urmare ch este un homomorfism inel.

Caracterul Chern este folosit în teorema Hirzebruch-Riemann-Roch .

numerele Zhen

Dacă lucrăm cu o varietate orientată de dimensiunea 2n , atunci orice produs al claselor Chern de gradul complet 2n poate fi împerecheat cu clasa fundamentală (sau „varietate integrată”), dând un număr întreg, numărul Chern al pachetului vectorial. De exemplu, dacă varietatea are dimensiunea 6, există trei numere Chern liniar independente date de c 1 3 , c 1 c 2 și c 3 . În general, dacă varietatea are dimensiunea 2n , numărul de numere Chern independente este egal cu numărul de partiții ale lui n .

Numerele Chern ale pachetului tangent al unei varietăți complexe (sau aproape complexe) sunt numite numere Chern ale varietății și sunt invarianți importanți.

Clasa Chern în teoriile generalizate de coomologie

Există o generalizare a teoriei claselor Chern, unde coomologiile obișnuite sunt înlocuite cu cele generalizate . Teoriile pentru care este posibilă o astfel de generalizare se numesc complex orientabil . Proprietățile formale ale claselor Chern rămân aceleași, cu o diferență critică - regula pentru calcularea primei clase Chern a produsului tensor al fasciculelor de linii în termenii primelor clase Chern ale descompunerii nu este o adunare (obișnuită), ci este dat de o lege formală a grupului .

Clasa Chern în geometria algebrică

În geometria algebrică, există o teorie similară a claselor Chern de mănunchiuri vectoriale. Există mai multe variații, în funcție de grupele din care aparțin clasele Chern:

Pentru varietăți complexe, clasele Chern pot lua valori în coomologia obișnuită (ca mai sus).
Pentru soiurile peste câmpuri de formă generală, clasele Chern pot lua valori în teoriile de coomologie, cum ar fi coomologia étale sau coomologia l-adic .
Pentru soiurile V peste câmpuri de formă generală, clasele Chern pot lua valori și în homomorfismele grupurilor Chow CH(V). De exemplu, prima clasă Chern a unui fascicul de linii peste o varietate V este un homomorfism de la CH( V ) la CH( V ) care descrește gradul cu 1. Acest lucru corespunde faptului că grupurile Chow sunt analoge cu grupurile de omologie și elementele ale grupărilor de omologie pot fi considerate homomorfisme ale grupărilor de omologie prin produsul Whitney .

Clasele Chern de varietati cu structura

Teoria claselor lui Chern este sursa invarianților de cobordism pentru structuri aproape complexe .

Dacă M este o varietate aproape complexă, atunci mănunchiul său tangent este un fascicul vectorial complex. Clasele Chern ale lui M sunt apoi definite ca clasele Chern ale pachetului său tangent . Dacă M este și compact și are dimensiunea 2 d , atunci fiecare monom de gradul complet 2 d din clasele Chern poate fi împerecheat cu clasa fundamentală a varietății M , dând un număr întreg, numărul Chern al varietății M . Dacă M ′ este o altă varietate aproape complexă de aceeași dimensiune, atunci este bordant cu M dacă și numai dacă numărul Chern al varietății M ′ este același cu numărul Chern al varietății M .

Teoria este, de asemenea, generalizată la mănunchiuri simplectice reale prin utilizarea unor structuri compatibile aproape complexe. În special, varietățile simplectice au o clasă Chern definită în mod unic.

Clasele Chern despre circuite aritmetice și ecuații diofantine

(Vezi geometriile Arakelov )

Vezi și

Clasa Pontryagin
Clasa Stiefel-Whitney
Teoria Zhen-Simons
Clasa Euler
Clasa Segre
Izomorfismul lui Tom

Note

↑ Chern, 1946 .
↑ Tu, Loring, 1995 , p. 267 și urm.
↑ Hatcher, 2003 .
↑ Milnor, Stasheff, 1974 .
↑ Notă: Notația de aici este diferită de notația Milnor − Staszef, dar mai natural.
↑ Această secvență este uneori numită șirul exact al lui Euler .
↑ Harshorne, 1977 , p. 176, cap. II. Teorema 8.13..
↑ Fie un grup de numere complexe care acționează în spațiu n -dimensional fără origine prin înmulțire. Apoi este pachetul principal cu grupul de structuri , a cărui bază este spațiul proiectiv complex . Linia L la (care trece prin origine) va fi un punct în spațiu . Katanaev, 2016 , 472 $\mathbb {C} _{0}=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\)$ $\mathbb {C} ^{n}\smallsetminus \{0\)$ $\mathbb {C} ^{n+1}{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}\mathbb {CP} ^{n}$ $\mathbb {C} _{0}$ $\mathbb {CP} ^{n}=(\mathbb {C} ^{n+1}\smallsetminus \{0\})/\mathbb {C} _{0)$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
↑ În termeni teoretici ai inelelor, există un izomorfism al inelelor gradate : $H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to\oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} )) [t],x\mapsto xt^{|x|/2}$ unde în stânga este inelul coomologic al termenilor pare, este inelul homomorfismelor care nu țin cont de gradare, iar x este omogen și are grad | x |. $\eta$
↑ Grothendieck, 1958 .
↑ (Vezi și polinomul #Cheng .) Rețineți că dacă V este o sumă de fascicule de linii, clasele Chern ale lui V pot fi exprimate ca polinoame simetrice elementare ale lui . În special, pe de o parte, $x_{i}$ $c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots,x_{n}).$ $c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),$ iar pe de alta parte, $c(V)=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})=\prod _{ i=1}^{n}(1+x_{i})=\sum _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ Prin urmare, se poate folosi identitățile lui Newton pentru a exprima suma puterii lui ch(V) într-un alt mod numai în termenii claselor Chern ale lui V , ceea ce dă formula necesară.

Literatură

Chern SS Clasele caracteristice ale Varietăților Hermitiene // Analele matematicii . - Analele matematicii, 1946. - V. 47 , nr. 1 . — S. 85–121 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1969037 . — .
Alexander Grothendieck . La théorie des classes de Chern // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1958. - T. 86 . — S. 137–154 . — ISSN 0037-9484 .
Jurgen Jost. Geometrie Riemanniană și Analiză Geometrică. — al 4-lea. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-25907-7 . (Este oferită o scurtă prezentare introductivă a claselor lui Zhen.)
May JP Un curs concis de topologie algebrică. - University of Chicago Press, 1999. - ISBN 978-0226511832 .
John Willard Milnor , James D. Stasheff. clase caracteristice. — Princeton University Press; University of Tokyo Press, 1974. - V. 76. - (Analele Studiilor de Matematică). - ISBN 978-0-691-08122-9 .
Elena Rubei. Geometrie algebrică, un dicționar concis. - Berlin/Boston: Walter De Gruyter, 2014. - ISBN 978-3-11-031622-3 .
Raoul Bott Tu, Loring W. Forme diferențiale în topologia algebrică. — Corr. 3. print.. - New York [ua]: Springer, 1995. - S. 267ff. — ISBN 3-540-90613-4 .
Harshorne R. Geometrie algebrică. - Springer-Verlag, 1977. - V. 52. - (Texte de absolvent în matematică). — ISBN 0-387-90244-9 . — ISBN 3-540-90244-9 .
Katanaev Mihail Orionovici Metode geometrice în fizica matematică. - A treia versiune completată a versiunii extinse a cursului de prelegeri. - 2016. - (Un curs de prelegeri în 2008-2016 la centrul științific și educațional de la Institutul Academiei de Științe din Moscova, numit după V.A. Steklov.).

Allen Hatcher. Propunerea 3.10 // Pachetele vectoriale și teoria K . — 2003.

Link -uri

Dieter Kotschick , numere Chern ale varietăților algebrice Arhivat 6 iunie 2011 la Wayback Machine