Ipoteza lui Zaremba

Conjectura lui Zaremba este o afirmație a teoriei numerelor despre reprezentarea fracțiilor ireductibile în termeni de fracții continue : există o constantă absolută cu următoarea proprietate: pentru orice există astfel încât pentru expansiune [1] : $\lambda$ $q\geqslant 2$ $a<q$ $(a,q)=1$

{\displaystyle {\frac {a}{q}}=[a_{1},a_{2},\dots,a_{n}]={\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac { 1}{a_{2}+{\frac {1}{\dots +{\frac {1}{a_{s))))))))))))

sunt valabile următoarele inegalități:

a_{i}\leqslant \Lambda ,\ i=1,\dots ,s

Cea mai puternică formulare implică valoarea pentru un arbitrar și valoarea pentru suficient de mare . [2] . $\Lambda =5$ $q$ $\Lambda =3$ $q$

Ipoteza a fost înaintată de Stanisław Zaremba Jr. ( Pol. Stanisław Krystyn Zaremba ) în 1972. Principala descoperire în cercetarea ei vine din lucrarea din 2014 a lui Burgain și Kontorovich ( germană: Alex Kontorovich ), în care versiunea slabă a conjecturii este dovedită pentru aproape toate numerele. Ulterior, rezultatele lor s-au îmbunătățit de multe ori.

Motivație

Din punct de vedere istoric, conjectura a apărut în legătură cu căutarea unei metode optime de integrare numerică în spiritul metodei Monte Carlo . Prin restricția asupra coeficientilor incompleti, Zaremba a estimat caracteristica rețelei , care descrie distanța minimă a punctelor sale față de centrul coordonatelor [3] . O serie de matematicieni sovietici s-au gândit și la această presupunere în legătură cu integrarea numerică, dar nu a fost enunțată nicăieri în formă tipărită [4] .

Declarația problemei în sine este legată de aproximările diofantine . Pentru aproximarea unui număr real arbitrar cu o fracție , măsura canonică a calității este numărul pentru care (cu cât este mai mare , cu atât este mai bună aproximarea). Se știe că raționalele sunt cel mai bine aproximate prin convergentele lor , pentru care estimarea este cunoscută . Deoarece , atunci în prezența unei estimări necondiționate, estimarea anterioară nu poate fi mai bună decât . De asemenea, este ușor să obțineți o estimare similară (până la o constantă) de jos, așa că conjectura lui Zaremba este exact afirmația despre existența fracțiilor ireductibile slab aproximabile cu orice numitor. [5] $\alfa$ ${\frac {p}{q))$ $c$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p}{q)}}{\Bigg \vert }={\frac {1}{cq^{2)})$ $c$ $\alfa$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{q_{n}q_ {n+1}}}$ $q_{n+1}<(a_{n}+1)q_{n)$ $a_{n}\leqslant \Lambda$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{(\Lambda +1 )q_{n}^{2}}}$

Generalizări

„Alfabetele” coeficientelor incomplete

O întrebare mai generală este adesea luată în considerare [6] : cum depind proprietățile (mulțimi de numitori , pentru care există fracții ireductibile cu condiția pentru toate ) de alfabet (un set finit de numere naturale)? În special, pentru care setul conține aproape toate sau toate suficient de mari ? ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$ $a_{i}\in {\mathcal {A}}$ $i=1,\dots ,s$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$

Conjectura lui Hensley

Hensley în 1996 a luat în considerare legătura restricțiilor privind coeficientii incompleti cu dimensiunea Hausdorff a fracțiilor corespunzătoare și a prezentat o ipoteză, care a fost ulterior respinsă [7] :

Mulțimea conține toate numerele suficient de mari dacă și numai dacă ( este mulțimea fracțiilor din intervalul , ale căror coeficiente parțiale se află în alfabet , este dimensiunea Hausdorff. ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>{\frac {1}{2}}$ ${\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}$ $(0;1)$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}$

Contraexemplul [8] este construit pentru alfabet : se știe că , dar în același timp . ${\mathcal {A}}=\{2,4,6,8,10\}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})\aprox 0{,}517$ $4k+3\nu \in {\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$

Bourgain și Kontorovich au propus o formă mai slabă a acestei presupuneri, implicând numitori cu restricții suplimentare. În același timp, au demonstrat versiunea sa de densitate pentru o constrângere mai puternică decât [9] . $d$ ${\frac {1}{2))$

Calculul dimensiunii Hausdorff

Problema calculării dimensiunii Hausdorff pentru alfabetele formei a fost luată în considerare în teoria aproximărilor diofantine cu mult înainte de conjectura lui Zaremba și, aparent, provine din lucrarea din 1928 [10] . În articolul în care a fost propusă conjectura, Hensley a descris un algoritm general cu timp de rulare polinomial bazat pe următorul rezultat [11] : pentru un alfabet dat , o valoare poate fi calculată cu precizie în doar câteva operații. ${\mathcal {A}}=\{1,\dots ,N\}$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$ $2^{{-N}}$ $O(N^{7})$

Există o presupunere că setul de valori de astfel de dimensiuni este peste tot dens. Din calculele computerizate se știe că distanța dintre elementele sale vecine este cel puțin nu mai mică [12] . $\{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}):|{\mathcal {A}}|\leqslant \infty \}$ ${\frac {1}{50}}$

Pentru alfabetele numerelor succesive, Hensley a obținut estimarea:

\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots, N\}})=1-{\frac {6}{\pi ^{2}N}} -{\frac {72\log N}{\pi ^{4}N^{2}}}+O\left({\frac {1}{N^{2}}}\right)

În special, s-a stabilit că:

\lim \limits _{N\to \infty }{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots, N\}})}=1

Acest fapt a fost folosit în esență în demonstrarea rezultatului central al lui Bourgain și Kontorovich [13] .

Promoții

Rezultate exacte slabe

Niederreiter a dovedit conjectura pentru puterile lui doi și puterile lui trei ca și pentru puterile lui cinci ca [14] . $\Lambda =3$ $\Lambda =4$

Rukavishnikova, dezvoltând un rezultat simplu al lui Korobov, a arătat existența oricărei fracțiuni cu condiția , unde este funcția Euler [15] . $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$ $a_{i}<\varphi (q)\log q,\i=1,\dots,s$ $\varphi (q)$

Rezultate de densitate

Cel mai puternic și mai general este rezultatul lui Bourgain și Kontorovich:

|{\mathcal {D}}_{\{1,\dots ,50\}}\cap [1;N]|=Nu(N)

adică conjectura lui Zaremba cu un parametru este adevărată pentru aproape toate numerele. Rezultatul lor a vizat nu numai acest alfabet, ci și oricare altul cu condiția [16] . Ulterior, rezultatul lor a fost îmbunătățit pentru și restul termenului , unde este o constantă [17] . $\Lambda =50$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0{,}98397$ $\Lambda =5$ $N^{-c)$ $c>0$

Pentru constrângeri mai slabe, aceeași metodă permite să se arate că mulțimea are o densitate pozitivă. În special, din îmbunătățiri ulterioare se știe că acest lucru este adevărat atunci când , inclusiv pentru [18] . ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0,25({\sqrt {17}}-1)\aproximativ 0,7807...$ ${\mathcal {A}}=\{1,2,3,4\}$

Limite cu dimensiunea Hausdorff

Hensley a arătat că dacă , atunci . Mai târziu, Bourgain și Kontorovich au îmbunătățit această inegalitate la în loc de . [19] Ulterior au fost obținute estimări mai puternice pentru intervalele individuale de valori . În special, se știe că și că la , exponentul tinde spre unitate [20] . $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})=\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}\cap [1;N]|\gg N^{\delta }$ $\delta +{\frac {(2\delta -1)(1-\delta )}{5-\delta }}-o(1)$ $\delta$ $\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\{1,2,3,5\}}\cap [1;N]|\gg N^{0,99}$ $\delta \to {\frac {{\sqrt {40}}-4}{3}}\aproximativ 0,7748...$

Numărul total de fracții de pe unul sau altul alfabet cu numitori care nu depășesc , până la o constantă, este [21] . $N$ ${\displaystyle N^{2\delta ))$

Versiune modulară

Hensley a constatat că numitorii fracțiilor care satisfac ipoteza Zaremba sunt distribuiți uniform (ținând cont de multiplicitatea) modulo . [22] Aceasta, în special, implică existența unor astfel de fracții cu numitori egali cu zero (și orice altă valoare) modulo unul sau altul.

Un corolar al rezultatului lui Hensley (1994): pentru orice există o funcție astfel încât pentru orice : există o fracție ireductibilă , ai cărei coeficienti incompleti sunt mărginiți de . $\Lambda \geq 2$ $q=q_{\Lambda}(n)\equiv 0{\pmod {n))$ $n$ ${\frac {a}{q)}$ $\lambda$

În acest caz, această afirmație ar fi echivalentă cu conjectura lui Zaremba. Ulterior, pentru numere prime s-au obținut estimări ale ratei de creștere în cazuri extreme: $q_{\Lambda}(n)=n$ $n$ $q_{\Lambda}(n)$

pentru unele constante este adevărat că [23] ; $c$ $q_{2}(n)=O(n^{c})$

pentru orice există un suficient de mare astfel încât [24] . $\varepsilon >0$ $\lambda$ $q_{\Lambda}(n)=O(n^{1+\varepsilon})$

Metode de cercetare

Metodele moderne, datând din lucrarea lui Bourgain și Kontorovich, iau în considerare conjectura Zaremba în limbajul matricelor 2x2 și studiază proprietățile corespunzătoare ale grupurilor de matrice . Datorită raportului convergentelor , expansiunea poate fi scrisă ca produs de matrici: ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$

{\begin{pmatrix}*&a\\*&q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\ 1&a_{2}\end{pmatrix}}\dots {\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{s}\end{pmatrix}}\

unde asteriscurile din prima matrice închid numerele, a căror valoare nu este esențială.

Ghidați de aceasta, studiem grupul generat de matrice de forma:

{\begin{pmatrix}0&1\\1&a\end{pmatrix}} {\begin {pmatrix}0&1\\1&a'\end{pmatrix}),\ a,a'\in {\mathcal {A} }

pentru prezența matricelor în el cu una sau alta valoare în poziția din dreapta jos. Pentru a analiza distribuția acestor valori se folosesc sume trigonometrice , și anume analogi speciali ai coeficienților Fourier [25] .

Utilizarea unor astfel de instrumente, precum și lucrul efectiv cu seturi de produse (unde elementele mulțimii sunt matrici) conferă problemei un caracter aritmetic-combinatorial .

Note

↑ Conform teoriei generale a fracțiilor continue, o astfel de expansiune este unică.
↑ Borosh, Niederreiter, 1983 , p. 69
↑ Niederreiter, 1978 , p. 988-989, vezi și descrierea conceptului de „puncte bune de rețea” la p. 986
↑ Kan, Frolenkov, 2014 , p. 88
↑ Korobov, 1963 , p. 25, lema 5
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , secțiunea 1
↑ Hensley, 1996 , p. 16, ipoteza 3
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , vezi Conjectura 1.3 și comentariul de după ea
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , Conjectura 1.7, Teorema 1.8
↑ Vezi al doilea paragraf în Good, 1941
↑ Hensley, 1996 , p. 44, teorema 3
↑ Jenkinson, 2004 , vezi secțiunea 4 pentru o prezentare generală a rezultatelor computaționale și secțiunea 5 pentru un rezultat privind distribuția densității valorilor $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , nota 1.11
↑ Niederreiter, 1986 .
↑ Moshchevitin, 2012 , p. 23, secțiunea 5.1
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , nota 1.20
↑ Magee, Oh, Winter, 2019 , p. 92.
↑ Kahn, 2017 .
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , observația 1.15, teorema 1.23
↑ Kahn, 2020 , vezi ibid pentru o prezentare generală a rezultatelor pentru alte valori $\delta$
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , nota 1.13
↑ Hensley, 1994 , p. 54, corolarul 3.
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 , teorema 2
↑ Shkredov, 2020 , teorema 5
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , p. 142-144

Literatură

I. J. Bine. Teoria dimensională fracțională a fracțiilor continuate // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1941. - Vol. 37 , iss. 3 . — P. 199–228 .
N. M. Korobov. Metode teoretice numerice în analiza aproximativă. - M. : Fizmatgiz, 1963. - 224 p.
H. Niederreiter. Metode cvasi-Monte Carlo și numere pseudoaleatoare (engleză) // Bull. amer. Matematică. Soc.. - 1978. - Vol. 84 , iss. 6 . — P. 957–1041 .
I. Borosh & H. Niederreiter. Multiplicatori optimi pentru generarea numerelor pseudoaleatoare prin metoda congruențială liniară // BIT Numerical Mathematics. - 1983. - Vol. 23 . — P. 65–74 .
H. Niederreiter. Fracții diadice cu coeficiente parțiale mici // Monatshefte für Mathematik. - 1986. - Vol. 101 . — P. 309–315 .
D. Hensley. Modul de distribuție a fracțiilor cu coeficiente parțiale mărginite $n$ // Pacific Journal of Mathematics. - 1994. - Vol. 166 , iss. 1 . — P. 43–54 .
D. Hensley. Un algoritm de timp polinomial pentru dimensiunea Hausdorff a seturilor de cantori de fracțiuni continue // Journal of Number Theory. - 1996. - Vol. 58 , iss. 1 . — P. 9–45 .
O, Jenkinson. Despre densitatea dimensiunilor Hausdorff de seturi de fracții continue de tip mărginit: conjectura texană // Stochastică și dinamică. - 2004. - Vol. 4 , iss. 1 . — P. 63–76 .
NG Moshchevitin. Despre unele probleme deschise în aproximarea diofantină . - 2012. - arXiv : 1202.4539v5 .
J. Bourgain, A. Kontorovich. Despre conjectura lui Zaremba // Analele matematicii. - 2014. - Vol. 180 . - P. 137-196 . - arXiv : 1107.3776v2 .
I. D. Kan, D. A. Frolenkov. Consolidarea teoremei Burgain–Kontorovich // Izvestiya RAN. - 2014. - T. 78 , nr. 2 . — p. 87–144 . (Rusă)
I. D. Kan. Consolidarea teoremei Bourgain–Kontorovich. V // Proceedings of the Steklov Mathematical Institute. - 2017. - T. 296 . — p. 133–139 . (Rusă)
M. Magee, H. Oh, D. Winter. Numărarea uniformă a congruenței pentru semigrupurile Schottky în $SL_{2}({\mathbb {Z} })$ // Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) . - 2019. - Vol. 2019 , iss. 753 . — P. 89–135 . - arXiv : 1601.03705 .
NG Moshchevitin, ID Shkredov. Pe o formă modulară a conjecturii lui Zaremba . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .
I. D. Kan. Consolidarea unei teoreme Bourgain-Kontorovich // Jurnalul de matematică din Orientul Îndepărtat. - 2020. - Vol. 20 , nr. 2 . — S. 164–190 . (Rusă)
ID Shkredov. Creșterea în grupurile Chevalley relativ la subgrupurile parabolice și unele aplicații . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .