Ipoteza lui Zaremba

Conjectura lui Zaremba  este o afirmație a teoriei numerelor despre reprezentarea fracțiilor ireductibile în termeni de fracții continue : există o constantă absolută cu următoarea proprietate: pentru orice există astfel încât pentru expansiune [1] :

sunt valabile următoarele inegalități:

.

Cea mai puternică formulare implică valoarea pentru un arbitrar și valoarea pentru suficient de mare . [2] .

Ipoteza a fost înaintată de Stanisław Zaremba Jr. ( Pol. Stanisław Krystyn Zaremba ) în 1972. Principala descoperire în cercetarea ei vine din lucrarea din 2014 a lui Burgain și Kontorovich ( germană:  Alex Kontorovich ), în care versiunea slabă a conjecturii este dovedită pentru aproape toate numerele. Ulterior, rezultatele lor s-au îmbunătățit de multe ori.

Motivație

Din punct de vedere istoric, conjectura a apărut în legătură cu căutarea unei metode optime de integrare numerică în spiritul metodei Monte Carlo . Prin restricția asupra coeficientilor incompleti, Zaremba a estimat caracteristica rețelei , care descrie distanța minimă a punctelor sale față de centrul coordonatelor [3] . O serie de matematicieni sovietici s-au gândit și la această presupunere în legătură cu integrarea numerică, dar nu a fost enunțată nicăieri în formă tipărită [4] .

Declarația problemei în sine este legată de aproximările diofantine . Pentru aproximarea unui număr real arbitrar cu o fracție , măsura canonică a calității este numărul pentru care (cu cât este mai mare , cu atât este mai bună aproximarea). Se știe că raționalele sunt cel mai bine aproximate prin convergentele lor , pentru care estimarea este cunoscută . Deoarece , atunci în prezența unei estimări necondiționate, estimarea anterioară nu poate fi mai bună decât . De asemenea, este ușor să obțineți o estimare similară (până la o constantă) de jos, așa că conjectura lui Zaremba este exact afirmația despre existența fracțiilor ireductibile slab aproximabile cu orice numitor. [5]

Generalizări

„Alfabetele” coeficientelor incomplete

O întrebare mai generală este adesea luată în considerare [6] : cum depind proprietățile  (mulțimi de numitori , pentru care există fracții ireductibile cu condiția pentru toate ) de alfabet (un set finit de numere naturale)? În special, pentru care setul conține aproape toate sau toate suficient de mari ?

Conjectura lui Hensley

Hensley în 1996 a luat în considerare legătura restricțiilor privind coeficientii incompleti cu dimensiunea Hausdorff a fracțiilor corespunzătoare și a prezentat o ipoteză, care a fost ulterior respinsă [7] :

Mulțimea conține toate numerele suficient de mari dacă și numai dacă (  este mulțimea fracțiilor din intervalul , ale căror coeficiente parțiale se află în alfabet ,  este dimensiunea Hausdorff.

Contraexemplul [8] este construit pentru alfabet : se știe că , dar în același timp .

Bourgain și Kontorovich au propus o formă mai slabă a acestei presupuneri, implicând numitori cu restricții suplimentare. În același timp, au demonstrat versiunea sa de densitate pentru o constrângere mai puternică decât [9] .

Calculul dimensiunii Hausdorff

Problema calculării dimensiunii Hausdorff pentru alfabetele formei a fost luată în considerare în teoria aproximărilor diofantine cu mult înainte de conjectura lui Zaremba și, aparent, provine din lucrarea din 1928 [10] . În articolul în care a fost propusă conjectura, Hensley a descris un algoritm general cu timp de rulare polinomial bazat pe următorul rezultat [11] : pentru un alfabet dat , o valoare poate fi calculată cu precizie în doar câteva operații.

Există o presupunere că setul de valori de astfel de dimensiuni este peste tot dens. Din calculele computerizate se știe că distanța dintre elementele sale vecine este cel puțin nu mai mică [12] .

Pentru alfabetele numerelor succesive, Hensley a obținut estimarea:

.

În special, s-a stabilit că:

.

Acest fapt a fost folosit în esență în demonstrarea rezultatului central al lui Bourgain și Kontorovich [13] .

Promoții

Rezultate exacte slabe

Niederreiter a dovedit conjectura pentru puterile lui doi și puterile lui trei ca și pentru puterile lui cinci ca [14] .

Rukavishnikova, dezvoltând un rezultat simplu al lui Korobov, a arătat existența oricărei fracțiuni cu condiția , unde  este funcția Euler [15] .

Rezultate de densitate

Cel mai puternic și mai general este rezultatul lui Bourgain și Kontorovich:

,

adică conjectura lui Zaremba cu un parametru este adevărată pentru aproape toate numerele. Rezultatul lor a vizat nu numai acest alfabet, ci și oricare altul cu condiția [16] . Ulterior, rezultatul lor a fost îmbunătățit pentru și restul termenului , unde  este o constantă [17] .

Pentru constrângeri mai slabe, aceeași metodă permite să se arate că mulțimea are o densitate pozitivă. În special, din îmbunătățiri ulterioare se știe că acest lucru este adevărat atunci când , inclusiv pentru [18] .

Limite cu dimensiunea Hausdorff

Hensley a arătat că dacă , atunci . Mai târziu, Bourgain și Kontorovich au îmbunătățit această inegalitate la în loc de . [19] Ulterior au fost obținute estimări mai puternice pentru intervalele individuale de valori . În special, se știe că și că la , exponentul tinde spre unitate [20] .

Numărul total de fracții de pe unul sau altul alfabet cu numitori care nu depășesc , până la o constantă, este [21] .

Versiune modulară

Hensley a constatat că numitorii fracțiilor care satisfac ipoteza Zaremba sunt distribuiți uniform (ținând cont de multiplicitatea) modulo . [22] Aceasta, în special, implică existența unor astfel de fracții cu numitori egali cu zero (și orice altă valoare) modulo unul sau altul.

Un corolar al rezultatului lui Hensley (1994): pentru orice există o funcție astfel încât pentru orice : există o fracție ireductibilă , ai cărei coeficienti incompleti sunt mărginiți de .

În acest caz, această afirmație ar fi echivalentă cu conjectura lui Zaremba. Ulterior, pentru numere prime s-au obținut estimări ale ratei de creștere în cazuri extreme:

Metode de cercetare

Metodele moderne, datând din lucrarea lui Bourgain și Kontorovich, iau în considerare conjectura Zaremba în limbajul matricelor 2x2 și studiază proprietățile corespunzătoare ale grupurilor de matrice . Datorită raportului convergentelor , expansiunea poate fi scrisă ca produs de matrici:

,

unde asteriscurile din prima matrice închid numerele, a căror valoare nu este esențială.

Ghidați de aceasta, studiem grupul generat de matrice de forma:

,

pentru prezența matricelor în el cu una sau alta valoare în poziția din dreapta jos. Pentru a analiza distribuția acestor valori se folosesc sume trigonometrice , și anume analogi speciali ai coeficienților Fourier [25] .

Utilizarea unor astfel de instrumente, precum și lucrul efectiv cu seturi de produse (unde elementele mulțimii sunt matrici) conferă problemei un caracter aritmetic-combinatorial .

Note

  1. Conform teoriei generale a fracțiilor continue, o astfel de expansiune este unică.
  2. Borosh, Niederreiter, 1983 , p. 69
  3. Niederreiter, 1978 , p. 988-989, vezi și descrierea conceptului de „puncte bune de rețea” la p. 986
  4. Kan, Frolenkov, 2014 , p. 88
  5. Korobov, 1963 , p. 25, lema 5
  6. Bourgain, Kontorovich, 2014 , secțiunea 1
  7. Hensley, 1996 , p. 16, ipoteza 3
  8. Bourgain, Kontorovich, 2014 , vezi Conjectura 1.3 și comentariul de după ea
  9. Bourgain, Kontorovich, 2014 , Conjectura 1.7, Teorema 1.8
  10. Vezi al doilea paragraf în Good, 1941
  11. Hensley, 1996 , p. 44, teorema 3
  12. Jenkinson, 2004 , vezi secțiunea 4 pentru o prezentare generală a rezultatelor computaționale și secțiunea 5 pentru un rezultat privind distribuția densității valorilor
  13. Bourgain, Kontorovich, 2014 , nota 1.11
  14. Niederreiter, 1986 .
  15. Moshchevitin, 2012 , p. 23, secțiunea 5.1
  16. Bourgain, Kontorovich, 2014 , nota 1.20
  17. Magee, Oh, Winter, 2019 , p. 92.
  18. Kahn, 2017 .
  19. Bourgain, Kontorovich, 2014 , observația 1.15, teorema 1.23
  20. Kahn, 2020 , vezi ibid pentru o prezentare generală a rezultatelor pentru alte valori
  21. Bourgain, Kontorovich, 2014 , nota 1.13
  22. Hensley, 1994 , p. 54, corolarul 3.
  23. Moshchevitin, Shkredov, 2019 , teorema 2
  24. Shkredov, 2020 , teorema 5
  25. Bourgain, Kontorovich, 2014 , p. 142-144

Literatură