Ipoteza lui Carathéodory

Conjectura Carathéodory este o presupunere atribuită lui Constantin Carathéodory , care a fost afirmată de Hans Ludwig Hamburger la sesiunea din 1924 a Societății de Matematică din Berlin [1] . Carathéodory a publicat lucrări pe acest subiect [2] , dar nu a prezentat niciodată ipoteza în scrierile sale. John Edensor Littlewood în cartea sa [3] menționează conjectura și contribuția lui Hamburger [4] [5] [6] ca exemplu de afirmație matematică care este ușor de afirmat, dar dificil de demonstrat. Dirk Jan Stroyk descrie în articolul său [7] o analogie formală a conjecturii cu teorema cu patru vârfuri pentru curbele plane. Referințele moderne la conjecturi sunt o listă de probleme de Yau Shintun [8] , cărți de Marcel Berger [9] [10] , precum și cărți de Nikolaev [11] , Stroyka [12] , Toponogov [13] și Alekseevsky, Vinogradov, Lychagin [14] .

Formulare

Orice suprafață convexă, închisă și suficient de netedă din spațiul euclidian tridimensional conține cel puțin două puncte de rotunjire .

Note

De exemplu , un elipsoid de revoluție are exact două puncte de rotunjire. În acest caz, toate punctele sferei sunt puncte de rotunjire.

Rezultate private

A existat o cerere a lui Stefan Cohn-Vossen [15] la Congresul Internațional al Matematicienilor din 1928 la Bologna și în ediția din 1929 a celui de-al treilea volum al cărții „Geometrie diferențială” [16] Wilhelm Blaschke a scris:

În timp ce cartea era pregătită pentru publicare, Cohn-Vossen a reușit să demonstreze că suprafețele analitice reale închise nu au puncte ombilicale cu indice > 2 (convorbire invitată la ICM din Bologna 1928). Aceasta dovedește conjectura lui Carathéodory pentru astfel de suprafețe, și anume că suprafețele trebuie să aibă cel puțin două ombilici.

Aici indicele Blaschke este egal cu dublul indicelui obișnuit al punctului ombilical și conjectura globală rezultă din teorema câmpului vectorial Poincaré . Nicio lucrare nu a fost publicată de Cohn-Vossen înainte de Congresul Internațional, iar în edițiile ulterioare ale cărții lui Blaschke comentariile de mai sus au fost eliminate. Din aceasta, este logic să concluzionăm că lucrarea nu a fost convingătoare.

Pentru suprafețele analitice, un răspuns afirmativ pentru conjectura a fost dat în 1940 de Hans Ludwig Hamburger într-o lucrare lungă publicată în trei părți [4] [5] [6] . Abordarea lui Hamburger s-a bazat, de asemenea, pe estimarea indicilor punctelor ombilicale izolate, din care, așa cum a arătat în lucrările anterioare [17] [18] , urmează conjectura lui Caratedori. În 1943 Gerrit Bol a oferit o demonstrație mai scurtă [19] (vezi și Blaschke [20] ), dar în 1959 Tilla Klotz [21] a găsit și a corectat o lacună în demonstrația lui Bol [4] [5] [6] . Dovada sa, la rândul ei, a fost declarată incompletă în disertația lui Hanspeter Scherbel [22] (Sherbel nu a publicat niciun rezultat legat de conjectura lui Carathéodory până cel puțin în iunie 2009). Printre alte publicații, trebuie menționate lucrările lui Titus [23] , Sotomayor și Mello [24] , Gutierrez [25] .

Toate dovezile menționate mai sus se bazează pe reducerea de către Hamburger a conjecturii lui Carathéodory la următoarea presupunere: indicele oricărui punct ombilical izolat nu depășește unu [17] . În linii mari, principala dificultate constă în rezolvarea singularității generate de punctele de rotunjire. Toți autorii menționați mai sus rezolvă singularitatea prin inducție pe „degenerarea” punctului de rotunjire, dar niciunul dintre autori nu a descris clar procesul de inducție.

În 2002, Vladimir V. Ivanov a revizuit lucrările lui Hamburger asupra suprafețelor analitice și a scris următoarele [26] :

În primul rând, având în vedere suprafețele analitice, declarăm cu toată responsabilitatea că Carathéodory a avut dreptate. În al doilea rând, știm cum acest lucru poate fi dovedit riguros. În al treilea rând, ne propunem să prezentăm aici o dovadă care, după părerea noastră, va convinge orice cititor, dacă ar fi cu adevărat gata să depășească alături de noi un drum lung și deloc ușor.

La început a urmat calea propusă de Gerrit Bol și Tilla Klotz, dar ulterior și-a propus propriul mod de rezolvare a singularității, în care valoarea critică aparține analizei complexe (mai precis, o tehnică care utilizează funcții implicite analitice , teorema pregătitoare Weierstrass ). , seria Puiseux și sistemele de rădăcină circulară ).

În 2008, Gilfoyle și Klingenberg au anunțat o dovadă a conjecturii globale pentru suprafețele de netezime C 3,\alpha . Metoda lor folosește geometria neutră Kähler a quarticei Klein , curbura medie a curburei , teorema indicelui Riemann-Roch și teorema Sard-Smale asupra valorilor regulate ale operatorilor Fredholm [27] . Cu toate acestea, articolul lor nu a fost niciodată publicat [28] .

În 2012, Gomi și Howard au arătat, folosind transformata Möbius , că conjectura globală pentru suprafețele cu netezime C2 poate fi reformulată în termeni de număr de puncte ombilicale ale graficelor unor gradienți asimptotici [29] .

Vezi și

Note

  1. ↑ Hamburger, 1924 .
  2. ↑ Universitatea din Wrocław, 1935 .
  3. ↑ Littlewood, 2011 .
  4. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1940 , p. 63-86.
  5. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , p. 175-228.
  6. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , p. 229-332.
  7. ↑ Struik, 1931 , p. 49-62.
  8. ↑ Yau, 1982 .
  9. ↑ Berger, 2003 .
  10. ↑ Berger, 2010 .
  11. ↑ Nikolaev, 2001 .
  12. ↑ Struik, 1978 .
  13. ↑ Toponogov, 2012 .
  14. ↑ Alekseevsky, Vinogradov, Lychagin, 1988 .
  15. ↑ Cohn-Vossen, 1929 .
  16. ↑ Blaschke, 1929 .
  17. ↑ 1 2 Hamburger, 1922 , p. 258 - 262.
  18. ↑ Hamburger, 1924 , p. 50 - 66.
  19. ↑ Bol, 1944 , p. 389-410.
  20. ↑ Blaschke, 1945 , p. 201–208.
  21. ↑ Klotz, 1959 , p. 277-311.
  22. ↑ Scherbel, 1993 .
  23. ↑ Titus, 1973 , p. 43-77.
  24. ↑ Sotomayor, Mello, 1999 , p. 49-58.
  25. ↑ Gutierrez, Sotomayor, 1998 , p. 291-322.
  26. ↑ Ivanov, 2002 , p. 315.
  27. ↑ Guilfoyle, Klingenberg, 2013 .
  28. ↑ Ghomi, 2017 .
  29. ↑ Ghomi, Howard, 2012 , p. 4323-4335.

Literatură