Teorema câmpului vectorial al lui Poincaré

Teorema câmpului vectorial Poincaré (cunoscută și ca teorema Poincaré-Hopf și teorema indicelui ) este o teoremă clasică în topologia diferențială și teoria sistemelor dinamice ; generalizarea şi perfecţionarea teoremei pieptănării ariciului .

Din aceasta, în special, rezultă că un câmp vectorial neted fără puncte singulare nu există pe o sferă bidimensională, dar poate exista pe un tor bidimensional .

Formulare

Fie definit un câmp vectorial neted pe o varietate închisă netedă , care are un număr finit de puncte singulare izolate . Apoi $M$ $V$ $A_{1},A_{2},\puncte ,A_{n}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}J_{{A_{i}}}(V)=\chi (M),

aici este indicele punctului față de câmp și numărul este caracteristica lui Euler a varietatii . $J_{{A_{i}}}(V)$ $A_{i}$ $V$ $\chi (M)$ $M$

Istorie

În cazul varietăților bidimensionale, teorema a fost demonstrată de Poincaré în 1885. Pentru varietăți de dimensiuni arbitrare, rezultatul a fost obținut de Hopf în 1926 [1] .

Variații și generalizări

Teoreme similare au fost demonstrate pentru câmpuri vectoriale cu puncte singulare neizolate și pentru varietăți cu singularități [2] [3] .

Note

↑ O versiune bidimensională a acestei teoreme a fost demonstrată de Poincaré în 1885. Teorema completă a fost demonstrată de Hopf în 1926, în urma rezultatelor parțiale ale lui Brouwer și Hadamard . // Milnor J., Wallace A. Topologie diferențială. Curs inițial. M: Mir, 1972 (p. 223).
↑ Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa . Câmpuri vectoriale pe soiuri singulare Arhivate 12 iunie 2018 la Wayback Machine . Springer, 2009.
↑ Pavao Mardesic . Indexul singularităților câmpurilor vectoriale reale pe suprafețe singulare Arhivat 18 iunie 2022 la Wayback Machine . Journal of the Singularities , vol 9 (2014), 111-121.

Literatură

Milnor J., Wallace A. , Topologie diferențială. Curs inițial. M: Mir, 1972.
Arnold V.I. , Ecuații diferențiale obișnuite . Orice editie.