Geometria diferențială a suprafețelor

Geometria diferențială a suprafețelor este un domeniu important din punct de vedere istoric al geometriei diferențiale .

Geometria diferențială a suprafețelor este împărțită în două subsecțiuni principale: geometria externă și internă. Obiectul principal de studiu al geometriei exterioare a suprafețelor îl reprezintă suprafețele netede înglobate în spațiul euclidian, precum și o serie de generalizări ale acestora. În geometria intrinsecă, obiectului principal îi sunt date în mod abstract suprafețe cu diferite structuri suplimentare, cel mai adesea prima formă fundamentală (la fel ca metrica riemanniană ).

Istorie

Unele proprietăți ale suprafețelor de revoluție erau cunoscute chiar și de Arhimede . Dezvoltarea calculului în secolul al XVII-lea a oferit abordări mai sistematice pentru a le demonstra.

Curbura suprafețelor generale a fost studiată de Leonhard Euler ; în 1760 a obţinut o expresie pentru curburele normale ale unei suprafeţe. [1] În 1771 [2] a considerat suprafețele date în formă parametrică, a introdus conceptul de suprapunere a suprafețelor (izometric în terminologia modernă); în special, a considerat suprafeţe suprapuse pe plan. Astfel, Euler a fost primul care a luat în considerare geometria intrinsecă a unei suprafețe.

Gaspard Monge a considerat curbele asimptotice și liniile de curbură pe suprafețe.

Cea mai importantă contribuție la teoria suprafețelor a fost făcută de Gauss în două lucrări scrise în 1825 și 1827 [3] . În special, el a demonstrat așa-numita Teorema Egregium - un rezultat important din punct de vedere istoric al lui Gauss, care spune că curbura Gauss este un invariant intern, adică un invariant sub izometriile locale . Separarea geometriei diferențiale într-o zonă separată de cercetare este adesea asociată tocmai cu această teoremă. [4] El a introdus conceptul de prima și a doua formă pătratică . Mai târziu, Karl Mikhailovici Peterson, a derivat un sistem complet de ecuații pentru formele de suprafață pătratică.

Rezultatele cheie în geometria intrinsecă a suprafețelor au fost obținute de Ferdinand Gotlibovich Minding . În special, el a introdus conceptul de traducere paralelă de -a lungul unei curbe, care a fost dezvoltat în continuare în lucrările lui Tullio Levi-Civita .

De la sfârșitul secolului al XIX-lea, s-a acordat multă atenție problemei imersiei izometrice, îndoirea suprafeței și problemelor de rigiditate. Cele mai importante rezultate au fost obținute de Alexander Danilovici Alexandrov , David Gilbert , Dmitri Fedorovich Egorov , Stefan Cohn-Vossen și alții.

Metodele dezvoltate în geometria diferențială a suprafețelor au jucat un rol major în dezvoltarea geometriilor Riemannian și Alexander .

Concepte de bază

O suprafață netedă încorporată este obiectul principal de studiu în geometria diferențială a suprafețelor, mai precis, geometria externă a suprafețelor . Este definită după cum urmează: O submulțime a spațiului euclidian se numește suprafață netedă încorporată (mai precis , o suprafață netedă încorporată regulată, fără graniță ) dacă pentru orice punct există o vecinătate în care este un grafic al unei funcții netede într-o funcție aleasă corespunzător. Sistemul de coordonate carteziene . $\Sigma$ $p\in \Sigma$ $U\ni p$ $\Sigma$ $z=f(x,y)$ $f$ $(x,y,z)$

Pentru orice suprafață încorporată în spațiul euclidian, se poate măsura lungimea unei curbe pe suprafață, unghiul dintre două curbe și aria unei regiuni de pe suprafață. Această structură este dată de prima formă fundamentală , adică o matrice 2×2 definită pozitiv , care variază ușor de la un punct la altul în parametrizarea locală a suprafeței. Este posibil să faceți abstracție de la atașamentul original. Adică, să considerăm o suprafață abstractă dată de coordonate locale cu o metrică riemanniană. Aceasta duce la așa-numita geometrie intrinsecă a suprafețelor, dezvoltată în continuare în geometria riemanniană .

Curbura joacă un rol central în studiul suprafețelor , incluzând curburele principale , curburele gaussiene și medii și descrierile tensorilor de curbură, cum ar fi operatorul de formă și a doua formă fundamentală .

Se acordă multă atenție altor clase de curbe de pe suprafață , inclusiv geodezice , curbe asimptotice și linii de curbură .

Principalele rezultate ale teoriei se referă la proprietățile suprafețelor convexe , ale suprafețelor de șa , ale suprafețelor de revoluție , ale suprafețelor cu curbură medie constantă și, în special, ale suprafețelor minime .

Constructii

Maparea sferică este o mapare în care un punct de suprafață este mapat la un vector normal unitar în acel punct.

Triedrul Darboux este o referință naturală pentru o curbă pe o suprafață, folosită în definirea curburii geodezice și normale .

Avizele tehnice

Formula lui Euler vă permite să calculați curbura normală a unei suprafețe.

Teorema lui Meunier - dă o expresie pentru curbura unei curbe situate pe o suprafață.

Teoreme fundamentale

Lema lui Gauss despre geodezică - afirmă că orice cerc suficient de mic centrat într-un punct de pe suprafață este perpendicular pe fiecare curbă geodezică din centru. Folosit pentru a demonstra că curbele geodezice sunt cele mai scurte curbe la nivel local. De asemenea, joacă un rol cheie în demonstrarea proprietăților coordonatelor normale și semi-geodezice

Ecuațiile Peterson-Codazzi oferă condiții locale pentru prima și a doua formă pătratică a suprafeței.

Teorema de uniformizare garantează existența unei parametrizări conforme a unei suprafețe date printr-o suprafață de curbură gaussiană constantă.

Formula Gauss-Bonnet oferă o expresie pentru integrala curburii Gauss pe o regiune de pe o suprafață.

Teorema de comparație a lui Alexandrov - oferă estimări pentru unghiurile unui triunghi geodezic.

Întrebări deschise

Problemă de încorporare izometrică. Rămâne o întrebare deschisă dacă orice suprafață dată abstract admite o încorporare izometrică într-un spațiu euclidian de dimensiunea 3. Aceasta este așa-numita „ ecuație Weyl ” [5] .
- Rezultatul lui Jakobovich [6] și Poznyak [7] oferă un răspuns pozitiv pentru înglobarea în spațiul 4-dimensional.
- În 1926 Maurice Janet a dovedit și a rezolvat problema pentru metrica analitică .
- Teorema de încorporare a lui Aleksandrov spune că orice metrică suficient de netedă pe o sferă cu curbură Gauss pozitivă este izometrică pentru o suprafață convexă închisă în . Un rezultat similar pentru metricile analitice a fost obținut anterior de Weil. [opt] $\mathbb{E}^3$

Conjectura lui Carathéodory : Conjectura afirmă că o suprafață convexă închisă de trei ori diferențiabilă admite cel puțin două puncte de rotunjire . Prima lucrare asupra acestei conjecturi a fost cea a lui Hans Hamburger în 1924, care a observat că presupunerea decurge din următoarea afirmație mai riguroasă: indicele semiîntreg al mănunchiului de curbură principală a unui ombilic izolat nu depășește unu.

Ipoteza lui Wilmore . Această presupunere afirmă că integrala pătratului curburii medii a torusului înglobat întrebuie să fie mărginită de jos de. Se știe că integrala este un invariant de Möbius. Ipoteza a fost rezolvată în 2012 de Fernando Koda Marquez și Andrk Neves [9] . $\mathbb{E}^3$ $2\pi ^{2}$

Note

↑ Euler, 1760 .
↑ Euler, 1771 .
↑ Gauss, 1902 .
↑ Toponogov, 2012 , p. 132.
^ Han, Hong, 2006 .
↑ Jacobowitz, 1972 .
↑ Poznjak, 1973 .
↑ Pogorelov A. V. Îndoirea suprafețelor convexe GITTL (1951)
↑ Marques, Neves, 2014 , p. 683–782.

Link -uri

GEOMETRIE DIFERENȚIALĂ // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.

Literatură

S. E. Cohn-Vossen , D. Gilbert . geometria vizuală. - M . : Editura Unită științifică și tehnică a NKTP URSS, 1936. - 302 p.

Do Karmo, M. Geometrie diferențială a curbelor și suprafețelor. - Moscova, Izhevsk, 2013. - ISBN 978-5-4344-0150-0 .

Pogorelov, A. I. Geometrie diferențială . — ediția a VI-a. — M .: Nauka, 1974.

Poznyak EG Imersiuni izometrice ale metricii riemanniene bidimensionale în spații euclidiene. - 1973. - T. 28 , nr. 4 . — p. 47–77 . - doi : 10.1070/RM1973v028n04ABEH001591 .

Rashevsky, P. K. Un curs de geometrie diferențială . — ediția a 3-a. — M .: GITTL, 1950.

Toponogov, V. A. Geometrie diferențială a curbelor și suprafețelor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

Chernavsky, A. V. Geometrie diferenţială, curs II .

Recherches sur la courbure des surfaces // Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. - 1760. - T. 16 . — S. 119–143 . . Data publicării - 1767

Leonhard Euler . De solidis quorum superficiem in planum explicare licet // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1771. - T. 16 . — pp. 3–34 . . Data publicării - 1772

Carl Friedrich Gauss . Investigații generale ale suprafețelor curbate din 1825 și 1827 . - Biblioteca Universității Princeton, 1902.

Qing Han, Jia-Xing Hong. Încorporarea izometrică a varietăților riemanniene în spații euclidiene. - 2006. - ISBN 978-0-8218-4071-9 .

Howard Jacobowitz. Înglobări izometrice locale ale suprafețelor în spațiul euclidian patru // Indiana Univ. Matematică. J .. - 1972. - T. 21 , nr. 3 . — S. 249–254 . - doi : 10.1512/iumj.1971.21.21019 .

Fernando Codá Marques, André Neves. Teoria Min-Max și conjectura Willmore // Analele matematicii. - 2014. - T. 179 , nr. 2 . - doi : 10.4007/annals.2014.179.2.6 . - arXiv : 1202.6036 . — .